¿No está mi libro equiparando erróneamente sin2x−cos2xsinxcosxsin2x+cos2xsinxcosxsin2⁡x−cos2⁡xsin⁡xcos⁡xsin2⁡x+cos2⁡xsin⁡xcos⁡x\frac{\frac{\sin^2x-\cos^2x}{\ sin x\cos x}}{\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}} y −cos2x−cos⁡2x-\cos2x?

Problema:

Diferenciar con respecto a x: broncearse ⁡ X − cuna ⁡ X broncearse ⁡ X + cuna ⁡ X

La solución de mi libro:

broncearse ⁡ X − cuna ⁡ X broncearse ⁡ X + cuna ⁡ X = pecado ⁡ X porque ⁡ X − porque ⁡ X pecado ⁡ X pecado ⁡ X porque ⁡ X + porque ⁡ X pecado ⁡ X (1) = pecado 2 ⁡ X − porque 2 ⁡ X pecado ⁡ X porque ⁡ X pecado 2 ⁡ X + porque 2 ⁡ X pecado ⁡ X porque ⁡ X (2) = pecado 2 ⁡ X − porque 2 ⁡ X pecado 2 ⁡ X + porque 2 ⁡ X = − porque ⁡ 2 X

Ahora,

d d X ( − porque ⁡ 2 X ) = 2 pecado ⁡ 2 X

Pregunta:

( 1 ) y ( 2 ) son diferentes porque sus dominios son diferentes. Entonces, no está diciendo ( 1 ) = ( 2 ) ¿equivocado?

Buena observación. Entonces la derivada solo existe para X ≠ π 2
Tienes una serie de preguntas que giran en torno al tema de tu libro de texto sin tener claro el dominio de alguna función y/o identidad. Creo que a estas alturas ya debería estar claro que los libros de texto a menudo toman atajos en aras de la brevedad de la exposición. Continuar usando esto como la esencia de sus preguntas me parece falso.
Sí, la expresión dada viene con condiciones implícitas, que naturalmente también se aplican a su derivada. Siendo las condiciones implícitas que porque ⁡ X , pecado ⁡ X , y ( broncearse ⁡ X + cuna ⁡ X ) son todos distintos de cero; la tercera condición es verdadera en R , por lo que solo las dos primeras condiciones terminan restringiendo el dominio.

Respuestas (2)

broncearse ⁡ X no se define cuando porque ⁡ X = 0 y cuna ⁡ X no se define cuando pecado ⁡ X = 0 . Por lo tanto, se supone implícitamente que el dominio excluye los puntos donde pecado ⁡ X porque ⁡ X = 0 .

En cierto sentido, tienes razón. Debido a que tienen diferentes dominios, no son exactamente la misma expresión. Pero son iguales dondequiera que ambos se definan. El autor no menciona este detalle porque lo considera obvio y no afecta el resultado. Este tipo de omisión es bastante común: para ahorrar espacio y evitar distracciones, los libros de matemáticas (y trabajos, etc.) omiten detalles que son "bien conocidos".

Por otro lado, también es bastante común al leer matemáticas llegar a puntos en los que tienes que detenerte un par de minutos y tratar de descubrir algún detalle que el autor omitió. (O, al menos, lo fue para mí cuando estaba estudiando).

¿No está mi libro equiparando erróneamente sin2x−cos2xsinxcosxsin2x+cos2xsinxcosxsin2⁡x−cos2⁡xsin⁡xcos⁡xsin2⁡x+cos2⁡xsin⁡xcos⁡x\frac{\frac{\sin^2x-\cos^2x}{\ sin x\cos x}}{\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}} y −cos2x−cos⁡2x-\cos2x?
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