¿La función es derivable?

Dejar α , β ≥ 1 ∈ norte y:

F ( X ) = { X β pecado ⁡ ( 1 X α ) 0 , X = 0

Revisé la continuidad y descubrí que la función es continua para cada α , β ∈ norte .

Ahora, la derivada F ′ ( X 0 ) es:

F ′ ( X ) = límite X → X 0 ⁡ F ( X ) − F ( X 0 ) X − X 0 = límite X → X 0 ⁡ X β pecado ⁡ ( 1 X α ) − X 0 β pecado ⁡ ( 1 X 0 α ) X − X 0

Para, X 0 = 0 tenemos:

F ′ ( 0 ) = límite X → 0 ⁡ X β pecado ⁡ ( 1 X α ) − 0 X − 0 = límite X → 0 ⁡ X β − 1 pecado ⁡ ( 1 X α )

Si β = 1 entonces el límite no existe. Por eso, F no es diferenciable en X 0 = 0 .

Si β > 1 entonces el limite es 0 (Por eso, F ′ ( 0 ) = 0 ).

No estoy seguro si cubrí todos los casos. ¿Hay otro punto que no sea diferenciable?

¿Por qué ignoraste el caso? β ≠ 1 ? Necesita cuidado.
Porque está claro que si β > 1 entonces el limite es 0 .
Me parece bien. La función es diferenciable en todos los puntos. Estás listo.

Respuestas (1)

cuando estas encontrando F ′ ( X 0 ) , dónde X 0 = 0 , el término X 0 β pecado ⁡ ( 1 X α ) no es 0 debido al término 1 X α .

Dado que su función es continua, puede usar el siguiente resultado (debido al teorema del valor medio).

Dejar F ser continuo en X 0 y supongamos que límite X → X 0 F ′ ( X ) salidas Entonces F es diferenciable en X 0 y F ′ ( X 0 ) = límite X → X 0 F ′ ( X ) .

Ahora, para todos X ≠ 0 , la función dada es derivable.

A continuación, considere X = 0 . Entonces, límite X → 0 F ′ ( X ) = límite X → 0 [ β X β − 1 pecado ⁡ ( 1 X α ) − α X β − ( α + 1 ) porque ⁡ ( 1 X α ) ] .

Para F ser diferenciable en X = 0 :

El límite anterior existe (y equivale a 0 ) si β − 1 ≠ 0 y β − ( α + 1 ) ≠ 0 . Dado que α , β ≥ 1 , obtenemos β − ( α + 1 ) ≠ 0 , eso es, β ≠ α + 1 .

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