¿Cuál es la fórmula para obtener la derivada de una función?

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¿Cuál es la fórmula para obtener la derivada de una función?

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Matemáticas

123yo soy rey

Tengo una calculadora Casio que puede hacer cálculos diferenciales. En el manual decía:

El procedimiento descrito a continuación obtiene la derivada de una función. Se requieren tres entradas para la expresión diferencial: la función de la variable x, el punto ( a) en el que se calcula el coeficiente diferencial y el cambio en x(delta x).

Calcular_Diferencial ( expression, a, delta x)

Ejemplo: Para determinar la derivada en el punto x=2de la función y= 3*x^2 - 5*x + 2, cuando el aumento o disminución en xes delta x = 2E-4: El resultado es7

Nota:

Puede omitir la entrada de delta x, si lo desea. La calculadora sustituye automáticamente un valor apropiado delta xsi no ingresa uno.

Los puntos discontinuos y los cambios extremos en el valor de xpueden causar errores y resultados inexactos.

Mi problema es que no puedo entender cuál es la fórmula detrás de Calculate_Differential, he leído esta página de wikipedia sobre Derivative pero perdí por completo. Necesito algo práctico para entender, por ejemplo : para calcular la Integración Numérica con la Regla de Simpson, este tipo de explicación puedo entender:

Dado un intervalo [a, b] y un número par n, la regla de Simpson aproxima la integral

por (Esta es la fórmula que necesito)

donde h = (b - a)/ny x[i] = a + i*h.

Entonces, ¿cuál es la fórmula para obtener la derivada de una función para que pueda aplicar el expression (e.g: 3*x^2 - 5*x + 2), el punto a (e.g: 2), el delta x (e.g: 2E-4), para obtener el result (e.g: 7).

Además, en la Nota de la calculadora, hay algunos puntos que no entiendo:

"La calculadora sustituye automáticamente un valor apropiado por delta x": ¿para qué valor se puede considerar apropiado delta x?
"Los puntos discontinuos y los cambios extremos en el valor de xpueden causar resultados inexactos y errores".: ¿Significa "Si delta xes demasiado grande, entonces la función es incorrecta"?

Bonnaduck

Parece que la forma en que la calculadora calcula las derivadas en un punto

x = a

$x=a$ es simplemente encontrando

\frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x}

$\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$ . Entonces solo usa un valor "realmente pequeño" para

Δ x

$\Delta x$ . Si la función tiene cambios extremos, la

Δ x

$\Delta x$ puede no ser lo suficientemente pequeño para obtener un valor exacto de la derivada.

123yo soy rey

@Bonnaduck: sospecho que esa también es la fórmula detrás. Pero cuando aplico esa fórmula, el resultado que da es 7.0006en lugar de 7. No puedo entender por qué se redondea así, así que pensé que tal vez hay otra fórmula o algo que me estoy perdiendo.

kevinkayaks

Para los derivados que tomas

h \to 0

$h \rightarrow 0$ . por finito

h

$h$ solo estás aproximando la derivada. De ahí el error de aproximación de

0.0006

$0.0006$ . Probablemente necesites tomar

h

$h$ suficientemente pequeño para que el error sea menor que la precisión de la calculadora. Esto podría ser

10^{- 16}

$10^{-16}$ ? Podrías leer sobre eso en el manual.

Respuestas (1)

¿Cuál es la fórmula para obtener la derivada de una función?

Parece que la forma en que la calculadora calcula las derivadas en un punto $x=a$ es simplemente encontrando $\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$ . Entonces solo usa un valor "realmente pequeño" para $\Delta x$ . Si la función tiene cambios extremos, la $\Delta x$ puede no ser lo suficientemente pequeño para obtener un valor exacto de la derivada.
@Bonnaduck: sospecho que esa también es la fórmula detrás. Pero cuando aplico esa fórmula, el resultado que da es 7.0006en lugar de 7. No puedo entender por qué se redondea así, así que pensé que tal vez hay otra fórmula o algo que me estoy perdiendo.
Para los derivados que tomas $h \rightarrow 0$ . por finito $h$ solo estás aproximando la derivada. De ahí el error de aproximación de $0.0006$ . Probablemente necesites tomar $h$ suficientemente pequeño para que el error sea menor que la precisión de la calculadora. Esto podría ser $10^{-16}$ ? Podrías leer sobre eso en el manual.

123yo soy rey · Answer 1

123yo soy rey

Así que esta es la fórmula:

(El método de los tres puntos centrados):

[f(x+h) - f(x-h)] / 2h

donde h es un número pequeño

O esta fórmula (método centrado de cinco puntos) también funciona:

[f(x-2h) - 8f(xh) + 8f(x+h) - f(x+2h)] / 12h

donde h es un número pequeño

Entonces, cuando aplico x=2, h=2E-4, f="3 x^2 - 5 x + 2". me da 7.

Todavía necesito averiguar cuál es el valor apropiado para h.

Bonnaduck

¿Qué sucede si evalúas la derivada de

| x |

$|x|$ en

x = 0

$x=0$ ? si el resultado es

0

$0$ , entonces esa es una buena evidencia de que la calculadora usa una de estas fórmulas. Aún mejor, verifique

x = 0.2

$x=0.2$ y ver si el valor alrededor

0.2

$0.2$ . Si es así, sería una muy buena evidencia.

123yo soy rey

@Bonnaduck - Si entiendo correctamente |x| significa cambiar negativo (si lo hay) a positivo. Así que ingreso el f="x",x=0,h=1E-5: tanto la calculadora como el "método de cinco puntos centrado" devuelven 1 (el resultado no es 0). Luego ingreso f="x",x=0.2,h=1E-5: tanto la calculadora como el "método centrado de cinco puntos" devuelven 1 (el resultado no es alrededor de 0.2). Entonces, tanto la calculadora como el "método centrado de cinco puntos" coinciden con el resultado, pero no con el resultado esperado. ¿Entiendo correctamente la prueba?

Bonnaduck

No, eso no funcionará. En su lugar, utilice la función

\sqrt{x^{2}}

$\sqrt{x^2}$ , asegurándose de que

x^{2}

$x^2$ está dentro de la raíz cuadrada.

123yo soy rey

@Bonnaduck: entonces ingreso f="√(x²)",x=0,h=1E-5: tanto la calculadora como el "método de cinco puntos centrado" devuelven 0 (su resultado esperado es correcto en este caso). Luego ingreso f="√(x²)",x=0.2,h=1E-5: tanto la calculadora como el "método centrado de cinco puntos" devuelven 1 (el resultado no es alrededor de 0.2). De nuevo, tanto la calculadora como el "método centrado de cinco puntos" coinciden con el resultado. Pero no coincide con el resultado esperado en caso de que x=0.2.

Bonnaduck

No estoy seguro de lo que estaba pensando

x = 0.2

$x=0.2$ . Vale, el hecho de que diera una derivada (incorrecta) de

0

$0$ en

x = 0

$x=0$ es una buena evidencia de que la calculadora está usando uno de estos métodos.

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