Funciones de funciones en cálculo

Primero, creo que ayudará señalar que estas no son funciones de funciones. Una composición de funciones no es una función de funciones,$^*$es solo una función ordinaria que podría pensarse como "construida en dos (o más) pasos".

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Bien, ahora vamos al problema en sí. Considere un ejemplo más simple. Suponer

$$f(x)=g(2x).$$ Ambos$f$y$g$son funciones ordinarias; tal vez$f(x)=4x^2$y$g(x)=2x$. No sabemos lo suficiente sobre$f$computar$f'(x)$, pero sabemos lo suficiente acerca de cómo$f$se relaciona con$g$para calcular una relación entre$f'$y$g'$, por la regla de la cadena:

• Primero, escribimos explícitamente$f$como una composición de dos funciones: la exterior es sólo$g$mismo, y el interior es$h:x\mapsto 2x$. Entonces$f=g\circ h$.

• Eso es mucho más confuso de escribir que solo "$f(x)=g(2x)$, pero aclara las cosas para aplicar la regla de la cadena para obtener

  $$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=g'(2x)\cdot 2=2g'(2x).$$ Así que hemos mostrado$f'(x)=2g'(2x)$; de nuevo, esto no equivale a un cálculo de$f'$sí mismo, pero nos dice cómo calcular$f'$ en términos de $g'$.

Ahora sus casos son un poco más complicados, pero están usando el mismo principio. Ese primer punto va a ser crucial, así que centrándose en el primer problema por simplicidad:

Suponer$f(x)=g(x+g(a))$. que es una funcion$h$tal que

$$f=g\circ h$$ (si puedes encontrar esto$h$entonces podrá aplicar la regla de la cadena directamente)?

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$^*$Dicho esto, hay una genuina "función de funciones" flotando aquí, a saber, ¡ la composición misma ! Composición (de funciones$\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, por simplicidad) es la operación que toma un par de funciones$h_1,h_2$y escupe la función$h_1\circ h_2$. Así que la composición es una función binaria de funciones.

Es el uso de la regla de la cadena. Por ejemplo

$ii) \quad f(x)=g(x+g(x))$

$$\frac{df}{dx} = \frac{d\big(g(x+g(x))\big)}{d\big(x+g(x)\big)} \frac{d\big(x+g(x)\big)}{dx} = g’(x + g(a))(1 + g’(x))$$

( los grandes paréntesis solo están ahí para evitar confusiones )