¿Por qué la función de onda espacio-momento para una partícula libre no es una función del tiempo?

La transformada de Fourier$\phi(k)$es una función sólo de$k$y no de tiempo porque indica la amplitud de cada onda plana que compone la función de onda.

Las amplitudes se conservan en el tiempo, porque las ondas planas se superponen linealmente entre ellas y no interactúan.

La evolución en el tiempo por lo que no está en las amplitudes$\phi(k)$, pero puedes observar cómo evoluciona cada onda plana y sumar de nuevo las evolucionadas con las amplitudes anteriores$\phi(k)$

La evolución temporal en la mecánica cuántica se suele realizar con el denominado operador de evolución temporal ,

$$U(t_f,t_i)=\text{e}^{-\text{i}H(t_f-t_i)/\hbar},$$ tal que, cuando se aplica a una función de onda en el tiempo inicial $t=t_i$, $$U(t_f,t_i)\, \psi(x,t_i) = \psi(x, t_f),$$ la función de onda en el tiempo final $t=t_f$sigue. Para una partícula libre, el hamiltoniano dice: $$H=\frac{p^2}{2m},$$ por lo que obtenemos la función de onda para $t=t_f$si dejamos $H$guiarse por $\psi(x)$. Antes de que podamos hacer eso, tenemos que expresar $p$como un derivado que actúa sobre $x$, $$p=\hbar k \to -\text{i}\hbar \partial_x\quad\Rightarrow\quad H=-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2$$ (Nota $\partial_x \equiv \tfrac{\partial}{\partial x}$) para que escribamos, $$\psi(x, t_f) = \text{e}^{\text{i}\frac{\hbar}{2m}\partial_x^2(t_f-t_i)}\, \psi(x,t_i).$$ De acuerdo con su pregunta, usaremos $t_i=0$y $t_f=t$: $$\psi(x, t) = \text{e}^{\text{i}\frac{\hbar}{2m}\partial_x^2t}\, \psi(x, 0).$$ No estoy exactamente seguro de por qué, pero para que coincida con su imagen, ahora hacemos una transformada de Fourier en la función de onda inicial, $$\psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \text{d}k\, \text{e}^{ikx}\, \phi(k).$$ Con esto llegamos a la ecuación $$\begin{align*} \psi(x, t) &= \text{e}^{\text{i}\frac{\hbar}{2m}\partial_x^2 t} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \text{d}k\, \text{e}^{ikx}\, \phi(k)\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \text{d}k\, \text{e}^{\text{i}\frac{\hbar}{2m}\partial_x^2 t} \text{e}^{ikx}\, \phi(k)\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \text{d}k\, \text{e}^{\text{i}\frac{\hbar}{2m}(\text ik)^2 t} \text{e}^{ikx}\, \phi(k)\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \text{d}k\, \text{e}^{-\text{i}\frac{\hbar k^2}{2m} t} \text{e}^{ikx}\, \phi(k)\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \text{d}k\, \text{e}^{i\left( kx -\frac{\hbar k^2}{2m}t\right)}\, \phi(k). \end{align*}$$ La tercera igualdad se sigue de una expansión de Taylor implícita y dejando que cada potencia de $\partial_x$guiarse por $\text e^{\text ikx}$, consulte, por ejemplo, aquí o aquí para obtener más información.

Entonces, para responder a tu pregunta:$\phi(k)$es sólo una función de$k$, porque hicimos la transformada de Fourier solo en$\psi(x)$. Si tuviéramos que hacer una transformada de Fourier en$\psi(x,t)$, obtendríamos un$\phi(k,\omega)$.