Encontrar ψ(x,t)ψ(x,t)\psi(x,t) para una partícula libre a partir de un perfil de onda gaussiana ψ(x)ψ(x)\psi(x)

Su pregunta parece bastante confusa,

• Primero pregunta por la evolución temporal de la función de onda. Para esto necesitarás usar la ecuación de Schrödinger$i \partial \psi/\partial t= \hat H \psi$y por lo tanto necesitará saber el hamiltoniano ($\hat H$).
• En segundo lugar, parece querer calcular la transformada de Fourier de la función de onda. Esto no le dará la función de onda en función del tiempo, pero le dará la función de onda en el espacio de cantidad de movimiento. La integral que desea calcular es la transformada de Fourier de una gaussiana, que en sí misma es una gaussiana: $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2/2}e^{-i k x} \, dx \\ = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2/2}\left(\cos{kx} - i \sin{kx} \right) \, dx .$$ El segundo término de la integral anterior es impar, por lo que dará cero. El primer término es una integral conocida y da $$=\sqrt{\frac{2\pi}{a}} e^{-k^2/2 a} ,$$ un gaussiano como se prometió con ancho inversamente proporcional al original.

Estoy bastante seguro de que Maple también debería poder calcular la integral para usted, como está escrito en mi primera línea (Mathematica puede), así que imagino que simplemente no lo está ingresando correctamente.

Editar: disculpas por el primer comentario anterior. No había visto que habías escrito que esto era para una partícula libre , así que de hecho conoces el hamiltoniano, el potencial es$V(x,t)=0$, por lo que a partir de la ecuación de Schrödinger sabemos que la evolución temporal de los estados propios de energía es$\psi(x,t)=e^{-i \omega t}\psi(x)$. Para la partícula libre tenemos$\omega=k^2/2m$y así conoces la evolución temporal de la transformada de Fourier.

Entonces, tomando la transformada de Fourier dada anteriormente, aplicando la evolución del tiempo y transformando de nuevo al espacio de posición, tenemos

$$\psi(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-k^2/2 a}e^{-i\omega t}e^{ikx} \, dk \\ =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{k^2}{2 a}(1+iat/m)}e^{ikx}\, dk \\ \sim e^{\frac12 \frac{x^2}{1/a+imt}}$$ como señaló #Ron en su comentario. Esto muestra cómo el paquete de ondas se propaga con el tiempo.