Condición inicial para la ecuación de Schrödinger transformada de Fourier

Pregunté en este hilo Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo cómo resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Una de las recomendaciones de JamalS fue la transformada de Fourier, por eso quiero citar su ejemplo:

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Ejemplo

Como ejemplo, considere el caso$V(x,t)=\delta(t)$, en cuyo caso la ecuación de Schrödinger se convierte en,

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \delta(t)\psi$$

Podemos tomar la transformada de Fourier con respecto a$t$, en vez de$x$, para ingresar al espacio de frecuencia angular:

$$-\hbar\omega \, \Psi(\omega,x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Psi''(\omega,x) + \psi(0,x)$$

que, si se conocen las condiciones iniciales, es una ecuación diferencial de segundo orden potencialmente simple, a la que luego se puede aplicar la transformada inversa de Fourier a la solución.

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Ahora, mi pregunta sería: ¿Cuáles son las condiciones iniciales significativas para esta ODE? Quiero decir, lo que probablemente quieras ver es cómo una función de onda$\Psi(t=0,x)$se propaga en el tiempo? Entonces, ¿cómo se establecen condiciones iniciales significativas para esta ecuación de Schrödinger transformada por Fourier? No necesita referirse a esta ODE en particular (con este potencial). Mi pregunta es más bien: cuando resuelves esta ODE, ¿cuáles son las condiciones iniciales / de límite apropiadas para esta ODE transformada de Fourier, porque aquí es donde falla mi imaginación?

Si algo no está claro, por favor hágamelo saber.