¿Por qué la evolución temporal es unitaria (la secuela)?

Un postulado fundamental de QM es que un sistema físico cerrado en un instante de tiempo, digamos t , está completamente descrita por una función de onda ψ ∈ S 1 ⊂ H (dónde H es un espacio de Hilbert y S 1 su esfera unitaria). Otro postulado fundamental es que la función de onda de un sistema cerrado debe evolucionar de manera determinista a lo largo de alguna órbita. t ↦ ψ ( t ) . Por lo tanto, es posible definir un operador de evolución temporal tu ( t , t ′ ) : S 1 ⊂ H → S 1 ⊂ H : ψ ( t ′ ) ↦ ψ ( t ) = tu ( t , t ′ ) ψ ( t ′ ) . De las consideraciones hasta ahora todavía necesitamos la propiedad de linealidad para tu (después de extender su (co)dominio a H ) para llegar a la conclusión de que tu ( t , t ′ ) ser unitario (para todos t ).

Algunos sugerirían que la linealidad de tu es simplemente fundamental en sí mismo y una parte experimentalmente falsable de QM que no se basa en ningún fundamento filosófico más profundo.

Sin embargo , muchos textos (ver también las "conferencias en QM" de Weinberg) adoptan el punto de vista de que la traducción del tiempo es una simetría à la Wigner y que todas las probabilidades de transición t ↦ | ⟨ ψ ( t ) , ϕ ( t ) ⟩ | 2 por lo tanto debe ser constante en el tiempo. El teorema de Wigner nos dice entonces que tu ( t , t ′ ) debe ser unitario o antiunitario. Un argumento de continuidad muy plausible descarta la opción antiunitaria.

Entonces, ¿qué camino lleva la mayor verdad? ¿O la distinción entre los dos puntos de vista es sólo aparente?

Personalmente, tengo dificultad para entender el segundo punto de vista. ¿No se supone que las funciones de onda describen el sistema en un instante de tiempo y no son una descripción del espacio-tiempo? por ejemplo, el producto interno en los espacios habituales de QM Hilbert le pide que integre o realice ciertas sumas relacionadas con la función de onda en uno de esos instantes de tiempo. Por lo tanto, no me parece evidente que la traslación del tiempo deba ser una simetría en el sentido de Wigner. ¿La invariancia de Lorentz fuerza de alguna manera la constancia de t ↦ | ⟨ ψ ( t ) , ϕ ( t ) ⟩ | 2 ?

Hay una muy buena explicación del segundo punto de vista en Fonda & Ghirardy, "Principios de simetría en física cuántica", Sec.1.4, comenzando en la página 23 abajo, scribd.com/doc/30539019/… . A ver si esto responde a tu pregunta.
@udrv lamentablemente no: la constancia de t ↦ | ⟨ ψ ( t ) , ϕ ( t ) ⟩ | es, como de costumbre, forzado a tragarnos en ese texto.
Veo lo que quieres decir, y en este caso el problema no es trivial. El argumento más refinado que conozco es el siguiente: 1) Dada la representación QM habitual de estados y observables, pero sin suposiciones sobre su evolución en el tiempo, 2) La relatividad impone una evolución lineal a través del teorema de no señalización, que invoca la velocidad limitan pero no explícitamente las transformaciones de Lorentz, y 3) La inversión del tiempo (no la traducción del tiempo) impone la unitaridad.
Ese es un comentario interesante, gracias. 2) es nuevo para mí y muy interesante (algunas búsquedas en Google parecen producir artículos/exposiciones que confirman esa opinión). Sin embargo, no entiendo lo que quiere decir con 3): es una de las suposiciones operativas básicas tener estados representados por funciones de onda de norma unitaria. Entonces, la evolución del tiempo debería dejar mejor la unidad de esfera invariante y la única parte no trivial sobre la unitaridad es (por definición entonces) la linealidad, ¿no? No debe introducirse ninguna física para justificar la preservación de las normas.
El punto (3) es necesario porque los estados QM también pueden ser estados mixtos dados por matrices de densidad, de las cuales los estados puros son un caso particular. Las evoluciones lineales más generales en el conjunto convexo de estados mixtos que son i) no solo positivos definidos, sino también completamente positivos (también conocidos como positivos, locales y separables), ii) homogéneos (insensibles a la normalización del estado), y iii) conservan la probabilidad ( la traza de la matriz de densidad), son las evoluciones generalmente irreversibles con generadores tipo Lindblad. Requerir la inversión del tiempo restringe el conjunto de evoluciones aceptables a las unitarias.
Un punto que a menudo se confunde: una vez que QM se define en el espacio de estados de Hilbert, con el conjunto convexo asociado de estados mixtos y matrices de densidad y el álgebra de observables, el principio de superposición está firmemente establecido y es completamente independiente de cualquier evolución temporal particular. , lineal o no lineal. En otras palabras, existen evoluciones no lineales perfectamente compatibles con el principio de superposición, aunque se superponen como | ⟨ ϕ ( t ) | ψ ( t ) ⟩ | ya no se conservan en el tiempo, y eso no es gran cosa.
El principal problema con las evoluciones no lineales es que se espera que distingan entre estados mixtos como conjuntos estadísticos de estados puros y estados mixtos como estados locales que surgen de, digamos, algún estado entrelazado compartido con otros sistemas que no interactúan. Esto es hasta ahora insostenible bajo el teorema de no señalización.
¿No son sinónimos "principio de superposición" y "linealidad" (o quizás "invariancia bajo combinaciones lineales")? Para ser claros, me refiero a esto en un sentido dinámico: no se permite que los coeficientes en la combinación lineal relevante dependan del tiempo. ¿Tiene algún consejo sobre dónde obtener una buena lectura sobre estos temas (en particular, la relación entre el teorema de no señalización y la linealidad)?
Una evolución tipo Lindblad mi L t es lineal en matrices de densidad, en el sentido regular de que mi L t ( λ 1 ρ 1 ( 0 ) + λ 2 ρ 2 ( 0 ) ) → λ 1 mi L t ρ 1 ( 0 ) + λ 2 mi L t ρ 2 ( 0 ) (generalmente uno toma λ i > 0 para mantener la positividad bajo control, y λ 1 + λ 2 = 1 para la normalización).
Pero dado que generalmente toma estados puros a estados mixtos, no toma | Ψ ( 0 ) ⟩ = C 1 | ψ 1 ( 0 ) ⟩ + C 2 | ψ 2 ( 0 ) ⟩ en C 1 | ψ 1 ( t ) ⟩ + C 2 | ψ 2 ( t ) ⟩ , pero | Ψ ( 0 ) ⟩ ⟨ Ψ ( 0 ) | → mi L t | Ψ ( 0 ) ⟩ ⟨ Ψ ( 0 ) | ≠ | Ψ ( t ) ⟩ ⟨ Ψ ( t ) | , aunque las superposiciones funcionan como de costumbre en el espacio de Hilbert.
En cuanto a las referencias, el documento original es arxiv.org/abs/quant-ph/0102125 , y hay una lista antigua de documentos sobre linealidad/no linealidad en QM, arxiv.org/abs/quant-ph/0410036 , pero tendré que volver con algo más reciente.
Ok, un punto de partida más nuevo puede ser lanl.arxiv.org/pdf/1411.1768v2 , y ver también lanl.arxiv.org/pdf/quant-ph/0508092v4 . Para el problema de la mezcla estadística que aparece en las discusiones sobre linealidad, vea la buena introducción en lanl.arxiv.org/pdf/quant-ph/0402094v2 .
@udrv, ¿qué quiere decir exactamente con "requerir inversión de tiempo" (3)? ¿Que el tiempo-Evolución debe ser un proceso reversible? Leí el documento sobre la linealidad y la condición de no señalización, y fue muy revelador. ¿Conoce artículos similares sobre el tema de la unitaridad?

Respuestas (1)

En primer lugar, los estados puros en mecánica cuántica no corresponden a elementos de la "esfera unitaria" del espacio de Hilbert; corresponden a elementos del espacio proyectivo de Hilbert (que para un espacio de Hilbert de dimensión finita es un espacio proyectivo complejo ), que no es lo mismo. Los vectores de estado que difieren por una fase global (que representan el mismo estado físico puro) corresponden a elementos distintos de la "esfera unitaria" del espacio de Hilbert pero el mismo elemento de su espacio de Hilbert proyectivo. (Además, usando la notación S 1 referirse a una hiperesfera arbitraria es extremadamente confuso, porque esa notación casi siempre se refiere específicamente a un círculo).

Para responder a su pregunta: diferentes físicos responderán de manera diferente, pero personalmente estoy mucho en el primer campo, que la unitaridad de la evolución cuántica en el tiempo es simplemente un postulado verificado experimentalmente que no puede derivarse de principios más fundamentales (aparte de la ecuación de Schrödinger sí mismo). Creo que basar la suposición de unitaridad en la invariancia traslacional en el tiempo del hamiltoniano refleja un sesgo desafortunado (principalmente por parte de los teóricos de alta energía) hacia la idea de que la mecánica cuántica siempre describe las leyes "fundamentales" de la física. En prácticamente todos los campos de la física, a menudo es muy útil considerar hamiltonianos que dependen explícitamente del tiempo. En estos casos, el argumento de la simetría traslacional se desmorona inmediatamente, pero la traslación temporal sigue siendo perfectamente unitaria. Por lo tanto,

Y si pudiera editorializar un poco, cualquiera que objete que estos hamiltonianos dependientes del tiempo son solo "casos límite especiales" del modelo estándar está lleno de sí mismo; después de todo, el modelo estándar en sí mismo es probablemente solo un caso límite de un aún más teoría fundamental, y no tenemos idea de si esa teoría más limitante es o no invariante traslacionalmente en el tiempo, o si esa idea tiene sentido.

Las páginas 4-6 de este artículo discuten algunas implicaciones desagradables de la evolución temporal no unitaria, por ejemplo, permitiría una señalización más rápida que la luz y resolver de manera eficiente problemas completos de PP . Pero la afirmación frecuente de que la interpretación probabilística de QM requiere una evolución temporal unitaria es incorrecta; la evolución del tiempo no unitario tiene consecuencias que parecen muy difíciles de reconciliar con nuestro mundo, pero es una teoría lógicamente consistente perfectamente.

"La evolución del tiempo no unitario tiene consecuencias que parecen muy difíciles de reconciliar con nuestro mundo, pero es una teoría perfectamente lógicamente consistente".
@Quantumwhisp No. Uno podría imaginar un mapa de evolución temporal no unitario que no sea lineal pero que conserve las normas, en cuyo caso no necesitaría cambiar nada. Incluso si el mapa de evolución temporal no unitario cambia la norma, entonces solo necesita usar el hecho de que el valor esperado de un observable mecánico cuántico O ^ es
⟨ ψ ( t ) | O ^ | ψ ( t ) ⟩ | ψ ( t ) | 2
(en el cuadro de Schrödinger). Si el mapa de evolución temporal no conserva las normas, el denominador se convierte en una función de normalización no constante. Esto a veces se llama "manual ...
... renormalización".
Veo el punto sobre la linealidad (que es necesaria para que el mapa que preserva la norma sea unitario). Acerca de la opción (renormalización manual), me imagino que para cualquier operador de evolución temporal no unitario lineal, puedo encontrar uno unitario que produzca los mismos valores esperados para cada operador, lo que hace que la evolución temporal no unitaria sea manual. normalización igual a la evolución temporal unitaria con normalización estándar.
@ChiralAnomaly No entiendo su afirmación de que la imagen de Heisenberg trata el espacio y el tiempo de manera más simétrica. Diría que en QM no relativista, ni los estados ni los operadores están parametrizados por el espacio en ninguna de las imágenes. ¿Estás pensando en la teoría cuántica de campos?
@ChiralAnomaly Además, no estoy de acuerdo con que las propuestas para QM no lineal solo se hayan formulado en la imagen de Schrodinger. QM no lineal simplemente postula una forma no lineal para el mapa de traducción de tiempo y, como tal, es independiente de su elección de imagen; como de costumbre, puede colocar los paréntesis donde desee.
@tparker (1) Sí, estoy pensando en la teoría cuántica de campos. Considerar modificaciones de QM que no se pueden extender a modificaciones de QFT es como considerar justificaciones de QM que no se pueden extender a casos con campos de fondo dependientes del tiempo. Creo que lo que su respuesta criticó correctamente sobre lo último se aplica también a lo primero. (2) Tal vez entendí mal lo que significa no lineal. Estaba pensando en modificaciones del Schr. ecuación que incluye potencias más altas de la función de onda, y no me queda claro cómo se definiría en absoluto una versión de la imagen de Heisenberg.
@tparker Estoy de acuerdo con su afirmación de que la suposición de la evolución temporal unitaria no debe basarse en la simetría de traducción temporal. Mi primer comentario pretendía dar otra razón, una que tiene en cuenta un conjunto aún mayor de aplicaciones empíricamente exitosas de la teoría cuántica.
@ChiralAnomaly Si simplemente asumimos que la evolución del tiempo previo a la medición es determinista, entonces podemos escribir | ψ ( t ) ⟩ = tu ( t ) | ψ 0 ⟩ para algún mapa (no necesariamente lineal) tu . Entonces todos los operadores diferenciales de tiempo en | ψ ( t ) ⟩ se puede reescribir trivialmente como actuando sobre tu en cambio. Esto lleva a la versión "independiente de la imagen" de la ecuación de Schrödinger i ℏ d tu / d t = H tu , que se mantiene igualmente bien en los cuadros de Schrödinger y Heisenberg. Una versión no lineal de QM simplemente significa que esta ecuación se modifica para que sea no lineal en tu . Está tan bien definido en...
... el Heisenberg como en el cuadro de Schrödinger.
Tiene razón: la no linealidad no impide necesariamente definir una imagen de Heisenberg. Si tu ( t ) es invertible, incluso si no lineal, entonces podemos definir A ( t ) por A ( t ) := tu − 1 ( t ) A tu ( t ) . Tal vez las modificaciones no lineales de QM estén diseñadas para garantizar que tu es invertible; No he estado motivado para estudiarlos con tanto cuidado. Pero en cualquier caso, mi comentario original dirigido a @Quantumwhisp tenía fallas, así que lo borré.
@ChiralAnomaly Aunque tampoco he pensado mucho en esto, creo que tu ni siquiera tiene que ser invertible; el operador de imagen de Heisenberg es A ( t ) = tu † A tu , no tu − 1 A tu . El adjunto de un mapa arbitrario en vectores está definido por ⟨ ψ | tu † := | tu ψ ⟩ † como de costumbre (esa definición no asume linealidad, solo un producto interno).
LOL, estaba regresando para reemplazar mi comentario roto cuando vi que ya habías respondido. Por supuesto que tienes razón otra vez: debería ser tu † A tu . Pero en ese caso, si tu es no lineal, entonces no veo ninguna razón para esperar ( tu † A tu ) ( tu † B tu ) = tu † A B tu , porque no veo por qué deberíamos esperar tu tu † = 1 . ... así que vuelvo a no ver una forma de darle sentido a la imagen de Heisenberg en el caso no lineal. Parece extraño si la traducción temporal de A ( 0 ) B ( 0 ) no eran los mismos que A ( t ) B ( t ) . De todos modos, buena respuesta (+1), y perdón por mis comentarios confusos.
¿Por qué la evolución temporal es unitaria (la secuela)?
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