¿Por qué la evolución del tiempo es unitaria?

Es por eso que el operador de evolución temporal es unitario basado en argumentos puramente físicos, es decir, que los procesos físicos que sufre un sistema aislado no deberían depender de ningún instante particular en el tiempo (homogeneidad del tiempo); por lo tanto, dos experimentadores que realizan el mismo experimento partiendo del mismo estado inicial, pero en momentos diferentes, ¿deberían tener la misma amplitud de probabilidad para ese estado? ¿O también hay algún argumento matemático?

Además, es la razón por la cual el operador de evolución temporal es lineal implícito en el principio de superposición (ya que un estado arbitrario puede expresarse como una combinación lineal de estados básicos, el operador debería actuar linealmente, ya que de lo contrario el estado en su conjunto evolucionaría de manera diferente a la superposición). de estados por los que inicialmente estuvo representado)?!

Si bien hay un argumento físico estándar, vea la respuesta dada por ACuriousMind, creo que la noción de la evolución del tiempo es fundamentalmente defectuosa. Supongamos que existe un multiverso de universos descritos por las mismas leyes QM tales que solo las condiciones iniciales son diferentes. Entonces, siempre puede considerar una evolución temporal alternativa que mapee los estados iniciales de un universo a los estados finales tomados de algún otro universo, o superposiciones arbitrarias de estos. Entonces, la noción de evolución temporal es ambigua. Que la evolución temporal sea unitaria es una tautología.
Es porque la información debe conservarse, es decir, Conservación de la Información, puede verlo observando que la unitaridad de la evolución del tiempo da como resultado una constancia de entropía de grano fino, y la constancia de entropía de grano fino significa que la cantidad de información que tenemos sobre el sistema no t cambia con el tiempo, se podría llamar a la conservación de la información la ley cero de la física,

Respuestas (2)

La evolución del tiempo es la exponencial del hamiltoniano, ya que el hamiltoniano es el generador de la traducción del tiempo (equivalentemente: la energía es la carga de la traducción del tiempo).

Como observable físico correspondiente a la energía, el hamiltoniano tiene que ser autoadjunto.

La exponencial de un operador autoadjunto es unitaria por el teorema de Stone .

Un argumento "físico" es que la evolución del tiempo debería preservar cualquier normalización que hayamos elegido para nuestros estados (porque la probabilidad de encontrar el estado ψ en ϕ en t 0 debería ser lo mismo que encontrar el estado evolucionado ψ en el estado evolucionado ϕ en t 1 ), es decir, debe conservar el producto interior, es decir, debe ser unitario.

Nótese que el argumento físico
norte o r metro a yo i s a t i o norte ⇒ tu norte i t a r i t y
supone linealidad. Uno podría imaginar evoluciones no lineales más complicadas que preservan la normalización. Sin embargo, esto violaría el principio de superposición de amplitudes de probabilidad, como se indica en el OP.
"Como un observable físico que corresponde a la energía, el hamiltoniano tiene que ser auto-adjunto". ¿ Es esto porque como un observable físico debería tener valores propios reales ? ¿Es válido argumentar que la linealidad se sigue por la razón que dije? Además, ¿No es la expresión exponencial sólo válida para un hamiltoniano independiente del tiempo? Finalmente, ¿la identificación del hamiltoniano como el generador de la traslación del tiempo se sigue de la aplicación del teorema de Noether a la traslación del tiempo de un estado cuántico?
@MarkMitchison (normal) Los estados son matrices de densidad, es decir, operadores positivos de clase de seguimiento con seguimiento uno (en algún espacio de Hilbert). Hay semigrupos lineales que conservan la positividad y la traza en las matrices de densidad que no se implementan unitariamente (por ejemplo, los Lindbladianos). Por tanto, en términos puramente matemáticos, no hay necesidad de unitaridad para que se mantenga la normalización del Estado.
@Will: los observables deben tener una base propia en el espacio y deben tener valores propios reales; esto es de hecho lo que hace la autoadjunción. Que el hamiltoniano sea el generador de la traslación del tiempo es inherente a la formulación de todos los procedimientos de cuantificación, de los cuales el más simple es el reemplazo heurístico del clásico corchete de Poisson por el conmutador. No puede aplicar el "teorema de Noether" a QM normal, la versión cuántica de las leyes de conservación son las identidades de Ward-Takahashi .
Entonces, por ejemplo, ¿se puede inferir de la ecuación de Schrödinger que el hamiltoniano genera una traslación temporal ya que su acción sobre un vector de estado es proporcional a la derivada temporal del vector de estado? Lamento continuar con esto, pero ¿es válido afirmar que el principio de superposición de los estados cuánticos implica que el operador de evolución debe ser lineal, ya que debe evolucionar cada estado de manera uniforme (si no fuera lineal, esto implicaría que el tiempo no es homogéneo)?!
@Will: Sí, la ecuación de Schrödinger es una forma de afirmar que el hamiltoniano genera traducciones de tiempo; aunque es más obvio en la ecuación de movimiento equivalente de Heisenberg. Y, de hecho, la evolución temporal tiene que ser un operador lineal porque no debería importar si desarrollamos un estado como un todo o elegimos una determinada base, descomponemos cada estado en la base, desarrollamos la base y volvemos a ensamblar los estados.
Ok, gracias por tu ayuda. ¿Sería también correcto decir que la razón por la cual tu ( t 2 , t 0 ) = tu ( t 2 , t 1 ) tu ( t 1 , t 0 ) es porque no debería importar si uno comienza en un estado particular en t = t 0 , | ψ ( t 0 ) ⟩ evolucionarlo a t = t 2 , | ψ ( t 2 ) ⟩ y luego hacer una medición,
o si uno comienza con un estado en t = t 1 , | ψ ( t 1 ) ⟩ que es igual al estado original evolucionado en t = t 1 , es decir | ψ ( t 1 ) ⟩ = tu ( t 1 , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ , y luego evolucionar esto a t = t 2 y hacer la misma medida. En ambos casos deberíamos obtener el mismo resultado. ¿Es esto porque consideramos que el sistema está aislado y, por lo tanto, como no hay influencia externa, debe evolucionar de acuerdo con las interacciones internas, y la forma en que tales interacciones afectan la evolución del sistema no debe depender de en qué momento comenzamos el ¡¿proceso?!
@Will: De hecho, esta es la intuición física detrás de esto, pero no necesitamos postular esa propiedad: se deriva directamente de la forma en que funciona el exponencial, y que es el exponencial se deriva directamente de decir que se genera como un operador lineal por el hamiltoniano.
Ah, vale, me preguntaba si se podría motivar antes de determinar su forma funcional.
Esto supone que existe un hamiltoniano, lo que no tiene por qué ser el caso. Por ejemplo, en GR (clásico y probablemente cuántico), el lagrangiano no es una función convexa de las primeras derivadas, por lo que no hay una transformación legendre a una formulación hamiltoniana, y la traducción del tiempo no está bien definida. Los QFT en general están dados por lagrangianos y una situación similar puede ocurrir en general.
También se podría considerar una teoría en la que el vector de estado se "renormaliza continuamente" con el tiempo, de modo que la interpretación probabilística aún tenga sentido incluso con una evolución temporal no unitaria (pero aún lineal). Como se discutió aquí , esta teoría tiene algunas consecuencias físicas "desagradables", pero sigue siendo perfectamente coherente desde el punto de vista lógico.
¿No es el razonamiento al revés? Simplemente postulamos la simetría traslacional en el tiempo y el teorema de Wigner dicta que la evolución de un estado debe describirse a través de un operador unitario. Esto asegura que el generador de esta evolución sería hermitiano y lo convierte en un observable.
@FeynmansOutforGrumpyCat No existe un conjunto único de axiomas, ni "el razonamiento". De hecho, también puede postular que la traducción del tiempo es una simetría en lugar de que el hamiltoniano genera traducciones del tiempo.
@ACuriousMind Ok, ya veo. Gracias por su respuesta.

Es una consecuencia de la conservación de la probabilidad total, es decir, que 1 = ⟨ a | a ⟩ , ser | a ⟩ el estado en el que se encuentra su sistema. A medida que el tiempo hace que el estado evolucione, el estado final también debe normalizarse de esa manera, de modo que la probabilidad de encontrarlo en el estado que será sea uno. Un sencillo cálculo matemático lleva al hecho de que el adjunto de tu veces tu ( tu es el operador de evolución temporal ) debe conservar las distancias. De ahí, que debe conservar cualquier producto escalar, y de ahí la unitaridad. Puede ver esto detallado en el video disponible gratuitamente de Leonard Susskind de su conferencia 9 sobre enredos cuánticos.

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