¿Por qué la evolución del tiempo imaginario no es unitaria?

Si$H$entonces es hermitiano$U=e^{-itH}$es unitario si y solo si$t$es real. Haciendo un cambio de variable$t=i\tau$no cambiará eso. El punto es que cuando haces una rotación de Wick a un tiempo imaginario, no estás haciendo un simple cambio de variables; después de todo, un cambio de variables no puede afectar la física.

El lugar básico donde surge una cantidad de tiempo imaginario es la matriz de densidad térmica

$$\rho = \frac{e^{-\beta H}}{Z}$$ con$\beta=1/(k_BT)$la temperatura inversa, que para tener significado físico debe ser real. Esto es lo mismo que$U$por un tiempo imaginario$t=-i\beta$. Esto debería ser suficiente para convencerte de que en la gran mayoría de los casos, cuando se habla de un tiempo imaginario, uno realmente considera que el tiempo es imaginario, y no puramente real, como se necesita para$U$ser unitario.

En el contexto que se encuentra a menudo en los cursos de QFT, uno está interesado en las cantidades dependientes del tiempo, aquí la rotación de Wick es menos física y más un truco matemático: usted decide que los observables$O(t)$solicitados son difíciles de calcular a lo largo de la línea real y en su lugar se calculan a lo largo del eje imaginario$O(it)$y espero que las fórmulas resultantes sean analíticamente continuables en todo el plano complejo.

Si$\hat H$es hermitiano, entonces$U(t)=e^{i \hat H t}$es unitario para$t\in \mathbb{R}$porque

$$\begin{align} U^\dagger(t)=\left(U^*(t)\right)^\top=e^{-i \hat H^\dagger t}= e^{-i \hat H t}=U(-t)=U^{-1}\, . \end{align}$$

Si$\tau\in \mathbb{R}$entonces$e^{\hat H\tau}$no es unitario porque$\left(e^{\hat H \tau}\right)^\dagger = e^{\hat H \tau} \ne \left(e^{\hat H \tau}\right)^{-1}$.

$e^{-iHt}$es unitario de verdad$t$. Diciendo que$\tau=it$no cambia esto. Esto es porque si$t$entonces es real$\tau$es puramente imaginario.

$e^{-iHt}$no es Unitario por puramente imaginario$t$. Diciendo que$\tau=it$no cambia esto. Esto es porque si$t$entonces es imaginario$\tau$es real.