Números complejos en mecánica cuántica y en relatividad especial

¿Existe una relación física entre el uso de números complejos para la función de onda en la mecánica cuántica (no relativista) y en la relatividad especial (como se formula en el marco del espacio de Minkowski)?

¿O son solo dos teorías diferentes que usan el mismo truco matemático?

No es realmente un truco matemático, sino la profunda conexión matemática entre las rotaciones y los números complejos que lo hacen. Por cierto, ya no usamos números complejos en relatividad. Ese enfoque ha sido reemplazado por el uso de métricas y geometría diferencial.
Los números complejos tienden a ser útiles cuando uno de los grados de libertad se puede tratar como una fase, porque un número complejo en forma polar codifica naturalmente una fase. Esto es útil en mecánica cuántica, óptica y circuitos eléctricos, pero menos aplicable en GR.
@CuriousOne, ¿podría elaborar esa conexión matemática? Realmente me gustaría saber sobre eso (¡sí! Siempre pensé que era solo un truco elaborado por los matemáticos):)
¿ Leíste en.wikipedia.org/wiki/Complex_number ? La representación fasorial debería ser bastante conocida.
@JohnRennie: ¿No podemos introducir una fase en la relatividad especial como θ = bronceado − 1 ( v / C ) ? ¿Existe una relación física entre esta fase y la fase en la mecánica cuántica?
@Bob: la rapidez es un ángulo, pero no estoy seguro de que sea útil considerarlo como una fase. Si conoce una aplicación de este tipo, grite.
@JohnRennie: Tal vez esta sección de un artículo de Wikipedia sea una aplicación de este tipo. Pero debo admitir que no entiendo bien los detalles técnicos. ¿Cualquier luz que puedas brillar es bienvenida?
Lea "Un cuento imaginario: la historia de i" de Paul Nahin. amazon.com/Paul-J.-Nahin/e/B001HCS1XI . A partir de esto, puede obtener una perspectiva adicional sobre la naturaleza de los números imaginarios y su conexión con los sistemas físicos, sin mencionar los excelentes relatos históricos.

Respuestas (3)

Si se refiere al uso de números complejos en el sentido de que la métrica del espacio-tiempo se puede escribir usando la métrica euclidiana pero con un i en el componente de tiempo para producir el signo menos requerido, entonces esta es una forma anticuada de hacer las cosas, y ha sido esencialmente abandonada por la comunidad física en favor del marco más poderoso de la geometría semirriemanniana.

Por otro lado, no es del todo cierto que los números complejos no puedan ser útiles en relatividad, y especialmente para dilucidar las conexiones que existen entre la relatividad y la mecánica cuántica.

Lo siguiente es tangencial, pero es tan hermoso que estoy dispuesto a arriesgar votos negativos para que la gente esté expuesta a ciertas ideas aquí.

El chiste (ver el final) será que existe una conexión matemática profunda entre la relatividad y el concepto de "espín" en la mecánica cuántica, y esta conexión tiene algo que ver con el uso apropiado de números complejos en la relatividad, es decir, al considerar ciertos números matemáticos. objetos llamados grupos, algunos de los cuales se describen naturalmente en términos de matrices con entradas complejas.

Simetrías en física y relatividad.

En física y matemáticas, las simetrías de un sistema se encapsulan en ciertos objetos llamados grupos que básicamente nos dicen qué tipo de cosas podemos hacer al sistema sin cambiar su estructura relevante.

Por ejemplo, las simetrías del espacio de Minkowski (sin incluir la paridad y la inversión del tiempo) consisten en los elementos del llamado grupo de Poincaré.

PAG = R 3 , 1 ⋊ S O ( 3 , 1 ) + .
Básicamente, este grupo consta de impulsos, rotaciones y traducciones de espacio-tiempo.

Ahora, por razones que no explicaré aquí (ver Idea de grupo de cobertura ), cuando queremos comenzar a considerar cómo aplicar estas simetrías del sistema físico a los sistemas cuánticos, debemos considerar "representaciones" de "grupos de cobertura universales" de grupos de simetría en lugar de los propios grupos. Cuando calculamos el grupo de cobertura universal del grupo de Poincaré, obtenemos un grupo que se describe de forma más natural usando matrices complejas:

R 3 , 1 ⋊ S L ( 2 , C ) .
Además, las representaciones de dimensión finita del subgrupo S L ( 2 , C ) danos representaciones de la dimensión 2 s + 1 dónde
s = 0 , 1 2 , 1 , 3 2 , … .
Si ha estudiado mecánica cuántica (incluso no relativista), entonces debería reconocer estos números. ¡Estos son los posibles giros de las partículas!

En otras palabras, el concepto de espín de la mecánica cuántica surge de una manera matemáticamente natural cuando se consideran las simetrías en la relatividad especial.

Hay mucho más que decir aquí, pero dejaré que el lector interesado investigue por sí mismo.

¿Quizás mencionar al Prof. Wigner, para completar la historia?

No hay demasiada conexión, porque el uso de números complejos en la relatividad especial es en sí solo un truco físicamente sin sentido que a menudo ya no se usa. 1

En la relatividad especial, tenemos esta molesta (para algunos) diferencia de signos entre el tiempo y el espacio. La interpretación moderna es que la (pseudo-)métrica simplemente no es definida positiva, y eso está bien. Tenemos

d s 2 = − ( C d t ) 2 + ( d X ) 2 + ( d y ) 2 + ( d z ) 2 ,
entonces hay combinaciones reales d t , d X , d y , d z que dan lugar a valores negativos de d s 2 .

Sin embargo, alguien, en algún lugar, notó que el cambio de signo en el tiempo se puede ocultar enterrando un factor adicional de i en la definición de la dirección del tiempo, ya que ( C i t ) 2 = − ( C t ) 2 . Ahora tenemos una métrica definida positiva honesta que actúa en un "tiempo imaginario" τ = i t y espacio real X , y , z :

d s 2 = ( C d ( i t ) ) 2 + ( d X ) 2 + ( d y ) 2 + ( d z ) 2 = ( C d τ ) 2 + ( d X ) 2 + ( d y ) 2 + ( d z ) 2 ,
por lo que cualquier colección de diferencias infinitesimales reales d τ , d X , d y , d z conducirá a un no negativo d s 2 .

Eso es lindo, pero tenga en cuenta que nunca usamos la gran mayoría de la estructura de C . Todo lo que necesitábamos era el concepto de algo cuyo cuadrado es − 1 . Y la definición positiva solo funciona de verdad τ , es decir, para puro imaginario t . No puede simplemente deshacerse del hecho de que las distancias positivas reales y los intervalos de tiempo positivos reales pueden y deben conducir a intervalos de espacio-tiempo de ambos signos. La relatividad especial (a diferencia quizás de la mecánica cuántica) no está íntimamente ligada a una estructura compleja.

Además, la relatividad general pone fin a cualquier noción de que los números complejos simplifican las cosas. Uno podría tener una métrica

d s 2 = − ( d t ) 2 + d t d X + ( d X ) 2 + ( d y ) 2 + ( d z ) 2 .
El t → − i τ la transformación puede hacer que el primer coeficiente sea positivo, pero el segundo coeficiente se volverá complejo. Emplear números complejos solo para evitar un signo negativo es, de alguna manera, excesivo y contraproducente.

1 Al menos en lo que respecta a la métrica. Vea la respuesta de joshphysics para un uso diferente de los números complejos.

Uno no debe apresurarse en descartar los números complejos como útiles para comprender la geometría de la relatividad especial. Como ha señalado Penrose, un observador del cielo nocturno (considerado como una esfera de Riemann en correspondencia con el plano complejo extendido mediante proyección estereográfica) que se someta a una transformación de Lorentz verá las posiciones estelares desplazadas por una transformación de Möbius (también conocida como transformación fraccionaria lineal) de la esfera de Riemann. Esta es realmente una conexión profunda entre las transformaciones de Lorentz y la geometría compleja, y corresponde a la cobertura de SO(1,3) por SL(2,C) mencionada en la última publicación. Consulte, por ejemplo, http://www.mathpages.com/rr/s2-06/2-06.htm y http://www.math.wustl.edu/~feres/Math496F15/Math496F15HW02Sol.pdf

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