Rotación de mecha del propagador en mecánica cuántica.

Me dicen que haciendo la sustitución$t\to-i\tau$, o una 'rotación de mecha', se puede usar para estudiar el propagador en un tiempo imaginario, lo que facilita algunos problemas. Por ejemplo, esta fuente propone que tomemos el propagador habitual y realicemos dicha sustitución:

$$\bar{U}(x_1,0;x_2,\tau)=\int_{x_1}^{x_2}D[x]\exp\left(\frac{i}{\hbar}\int_0^t dt'\left(\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dt'}\right)^2-V(x)\right)\right)|_{t\to -i\tau;dt\to-id\tau}$$ lo que aparentemente conduce a: $$=\int_{x_1}^{x_2}D[x]\exp\left(\frac{1}{\hbar}\int_0^\tau d\tau'\left(-\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{d\tau'}\right)^2-V(x)\right)\right)$$ No entiendo cómo funciona esta sustitución, tal vez estoy cometiendo un error matemático tonto. Tomando la primera línea y sustituyendo el integrando como$dt\to -id\tau$, introduzco un factor de$-i$al exponente, que se multiplica por el factor existente de$i$para producir 1. Usando la regla de la cadena, gano un factor de$1/(-i)^2=-1$en el término de energía cinética, cambiando su signo. Y, ya que estoy dejando$t\to-i\tau$, también cambio el límite superior de la integral para la acción, dándome en general: $$=\int_{x_1}^{x_2}D[x]\exp\left(\frac{1}{\hbar}\int_0^{-i\tau} d\tau'\left(-\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{d\tau'}\right)^2-V(x)\right)\right)$$ Este es casi el resultado correcto, pero tengo un factor de$-i$en el límite superior de la integral de acción, que creo que debería ser introducido por la sustitución$t\to-i\tau$- pero el resultado correcto no tiene eso. ¿Es esto de alguna manera equivalente, o he cometido un error? ¿Por qué el cambio de variable no afectaría el límite superior de la integral?