¿Por qué usamos la evolución del tiempo imaginario en simulaciones de algún sistema cuántico?

Comencemos con la evolución temporal habitual en la mecánica cuántica para preparar el escenario. Se rige por la ecuación de Schrödinger (limitando la discusión a 1D por simplicidad, es trivial extender el argumento a dimensiones más altas):

$$i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=\hat{H}\psi(x,t)$$ Cuando el hamiltoniano es independiente del tiempo (es decir, cuando el potencial es independiente del tiempo), entonces es sencillo resolver la ecuación anterior para encontrar la dependencia del tiempo de$\psi(x,t)$. Lo que debe hacer es resolver primero la ecuación de valor propio para el hamiltoniano: $$\hat{H}\psi_n(x)=E_n\psi_n(x),$$ dónde$\psi_n(x)$son los estados propios y$E_n$los valores propios de la energía. En segundo lugar, necesita expandir la función de onda en un momento inicial (digamos$t=0$) en términos de los estados propios de energía: $$\psi(x,0)=\sum_nc_n(0)\psi_n(x),$$ dónde$c_n(0)$son los coeficientes de expansión que puede encontrar al calcular la superposición entre$\psi(x,0)$y los estados propios de la base energética. En tercer lugar, la función de onda en un momento posterior$t$es dado por: $$\psi(x,t)=\sum_nc_n(0)e^{-iE_nt\hbar}\psi_n(x).$$ La dependencia del tiempo es tal que cada estado propio de energía$\psi_n(x)$"oscila" a una frecuencia proporcional al valor propio de energía correspondiente$E_n/\hbar$.

A continuación, volviendo a su pregunta, consideremos un cambio de variables$\tau=it$. Tu puedes pensar en$\tau$como "tiempo imaginario". Aplicando este cambio de variables a la ecuación de Schrödinger obtenemos:

$$-\hbar\frac{\partial\psi(x,\tau)}{\partial\tau}=\hat{H}\psi(x,\tau).$$ De nuevo, como$\hat{H}$es independiente del tiempo, la dependencia de$\tau$puede resolverse de la misma manera que la dependencia de$t$se resolvió anteriormente, y obtenemos: $$\psi(x,\tau)=\sum_nc_n(0)e^{-E_n\tau/\hbar}\psi_n(x).$$ Ahora puede ver que la función$\psi(x,\tau)$en tiempo imaginario$\tau$ya no se obtiene por una superposición "oscilante" de estados propios de energía, sino por una superposición de estados propios de energía "que decae exponencialmente". Además, la tasa de decaimiento exponencial es proporcional a$E_n/\hbar$.

¿Qué hemos logrado al hacer que esta variable cambie de$t$a$\tau$? Considere el límite de grandes$\tau$:

$$\psi(x,\tau\gg1)\simeq c_0(0)e^{-E_0\tau}\psi_0(x).$$ En este límite, el estado fundamental$n=0$se "proyecta" fuera del estado inicial, porque el decaimiento exponencial correspondiente es el más lento. Por lo tanto, al evolucionar el sistema en "tiempo imaginario", podemos obtener el estado fundamental del hamiltoniano$\psi_0(x)$como el largo límite de tiempo imaginario.

¿Esto siempre funcionará? Esto solo funcionará si cuando expande el estado inicial en términos de estados propios de energía, hay alguna contribución del estado fundamental. De lo contrario, la larga evolución del tiempo imaginario conducirá al estado de energía más bajo presente en la expansión inicial.

Un área en la que se utiliza la evolución temporal imaginaria es en uno de los métodos computacionales más precisos para resolver la ecuación de Schrödinger para sólidos, la difusión cuántica Monte Carlo . En este método, la ecuación de Schrödinger del tiempo imaginario se resuelve estocásticamente como una ecuación de difusión y se proyecta el estado fundamental del sistema.