Mecánica cuántica: ¿cómo puede ser compleja la energía?

En la sección 134 del vol. 3 (Mecánica cuántica), Landau y Lifshitz hacen que la energía sea compleja para describir una partícula que puede decaer:

mi = mi 0 − 1 2 i Γ .

el propagador tu ( t ) = Exp ⁡ ( − i H t ) luego hace que la función de onda muera exponencialmente con el tiempo. Pero también, H no es hermitiano.

Mi pregunta: ¿Tenemos que modificar los postulados básicos de la mecánica cuántica (como la describe Shankar, por ejemplo, o las secciones anteriores de Landau y Lifshitz) para describir partículas inestables?

Respuestas (3)

No tenemos que modificar las leyes básicas de la mecánica cuántica para describir partículas inestables. El estado completo del sistema incluye el estado de los productos de descomposición, y lo que realmente tiene es un acoplamiento de un estado a otro. No se requieren energías imaginarias para describir esto, pero sí debe incluir los estados de los productos de descomposición en su cálculo.

Este acoplamiento es simétrico (y, por lo tanto, el hamiltoniano total sigue siendo hermitiano). Aún así, con frecuencia es poco probable que los productos de descomposición vuelvan a formar la partícula original porque los productos de descomposición suelen ser más de una partícula. Esto significa que la entropía de los productos es mayor que la entropía de la partícula original. Es poco probable que esta entropía disminuya, por lo que la parte del estado cuántico que corresponde a los productos se "pierde" en cierto sentido.

Además del espacio de estado más grande, los productos tienen menos masa en reposo que la partícula original, lo que significa que para conservar la energía deben tener más energía cinética. Esto hace que las partículas del producto vuelen lejos del lugar donde se formaron y entre sí; es poco probable que se recombinen cuando están separados por una gran distancia.

Lo que Landau describe es un truco para calcular ciertos observables sin incluir la dinámica de los productos de descomposición. La parte imaginaria del hamiltoniano hace que la función de onda decaiga de manera similar a un acoplamiento unidireccional a otro estado. Dado que hay muchos más estados posibles del producto, cada uno de ellos está casi vacío y esta es una aproximación razonable.

Hola Dan, gracias por tu respuesta. Si te entiendo bien, un tratamiento adecuado de partículas inestables requiere termodinámica. Si ignoramos las consideraciones de entropía, la evolución del tiempo hamiltoniano sería la decadencia A → B 1 ⋯ B norte tan probable como B 1 ⋯ B norte → A . ¿Conoces una buena referencia que haga esto en detalle?
@ user22037: No requiere termodinámica per se. El bit de "entropía" es solo el tamaño del espacio de estado de los productos e incluye la tendencia de esos productos a tener mucha energía cinética que los aleja de la partícula principal.
@user22037: Un tratamiento verdaderamente adecuado de partículas inestables requiere incluir el estado de los productos. Esto suele ser muy difícil y también incluye muchas cosas que no necesariamente te interesan. Las explicaciones termodinámica y cinética son las que uno usaría para justificar el descuido de esto.
Gracias de nuevo. Entonces, si la interacción que describe la transición A ↔ B 1 ⋯ B norte es local (o de corto alcance) en el espacio, entonces los productos de descomposición B k por lo general terminan demasiado separados para recombinarse. Me doy cuenta de que esto es probablemente difícil de hacer con todos los detalles, pero ¿existe quizás un modelo de juguete en el que se pueda hacer exactamente o casi exactamente? Eso me ayudaría a entender. Agradecería cualquier sugerencia.
@user22037: No conozco ningún modelo de juguete que se pueda hacer a mano. Es posible que desee hacer eso como otra pregunta.

Creo que también puede ser fructífero no pensar en el hamiltoniano como la energía. El hamiltoniano es el generador de traslaciones de tiempo, por lo que un valor propio del hamiltoniano que es complejo te dice que hay cierta descomposición, como señaló Edoot. Esta es una distinción importante. Cuando calculamos el "espectro de energía" de un hamiltoniano, lo que realmente estamos calculando es el espectro de frecuencia de la evolución temporal del sistema.

Una de las mejores discusiones que he visto sobre CÓMO obtener estos hamiltonianos efectivos al calcularlos directamente es en la Teoría cuántica de campos de sistemas de muchos cuerpos de Wen. En uno de los primeros capítulos, habla de un "circuito RLC cuántico". El libro es impredecible, pero creo que esta discusión es clara y un buen ejemplo de teorías de campo efectivas.

Hola Webb, gracias por tu respuesta. Veo que debería haber sido cuidadoso en la forma en que formulé mi pregunta: lo que realmente me molestaba era el hecho de que el hamiltoniano tenía valores propios complejos. Entiendo "el espectro de frecuencias de la evolución del tiempo", pero no entiendo cómo reconciliar frecuencias complejas con el requisito de que H ser hermitiano. Gracias por la referencia, le echaré un vistazo si alguna vez lo devuelven a la biblioteca de mi universidad.
Las teorías de campo efectivas sacrifican la hermiticidad para deshacerse de un grado de libertad. Esto es como agregar un término de amortiguamiento a las ecuaciones de Hamilton en la mecánica clásica violando la simplicidad. Desearía tener un buen ejemplo de eso, pero no lo tengo.
Muy interesante analogía, gracias. Así que si H es no hermitiano en una teoría de campo efectivo que describe la descomposición de partículas, son las partes imaginarias de los valores propios posibles resultados de la medición? Realmente agradecería si conoce otras referencias que discutan esto en detalle, ya que el libro de Wen está retirado de la biblioteca de mi universidad y no sé cuándo volverá.
No tengo otra referencia, lamentablemente. Experimentalmente, la parte compleja de una resonancia en, digamos, mediciones de detectores de alta energía, se manifiesta como si tuviera un ancho de línea. Entonces, si mide alguna distribución lorentziana alrededor de un pico resonante de ω 0 en algunos experimentos, el ancho está determinado por el tiempo de caída.
También hay un término de energía complejo para el campo de Higgs, que le dice que el estado inicial es inestable y decae en uno de dos estados estables. Ese 'campo de taquiones' con término complejo no se considera exactamente real, ¿verdad? ¿Es así?

No necesitamos modificar postulados.

mi = mi 0 − 1 2 i Γ sólo describe parcialmente el sistema. X las partículas desaparecen y y aparece la partícula (una o más).

Inicialmente: mi X = mi 0 y mi y = 0

Finalmente: mi X = 0 y mi y = mi 0

Agregar − 1 2 i Γ porque necesitamos un decaimiento:

Exp ⁡ ( − i H t ) = Exp ⁡ ( − i mi 0 t ) Exp ⁡ ( − 1 2 Γ t )

Exp ⁡ ( − 1 2 Γ t ) → 0 rápido = la partícula desaparece.

Hola Edoot, gracias por tu respuesta. Entiendo que − 1 2 i Γ hace ψ → 0 . Lo que no entiendo es cómo darle sentido a esto usando un hermitiano. H . El término − 1 2 i Γ hace H no hermítica, en violación de los postulados.
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