Funciones propias de la ecuación de Schrödinger

¿ Por qué las soluciones de la ecuación de Schrödinger se llaman funciones propias ? Para un electrón que se mueve en una red unidimensional, las funciones propias vienen dadas por $$\psi(x)=u_k(x)e^{ikx}.$

¿Es esta una pregunta de terminología?
No sé qué significa pregunta terminológica.
Si desea saber más profundamente por qué sucede así, puede aprender sobre la teoría espectral en el análisis funcional.
¿Es también por el hecho de que son las soluciones de la ecuación de valores propios?
H ψ = mi ψ
'Terminología' generalmente se refiere a un nombre, en este caso, el nombre de las cantidades que llamamos 'funciones propias'. Lo interpreté como si quisieras saber por qué las funciones propias se llaman 'funciones propias'.
La ecuación de Schrödinger no es solo el problema de valores propios; es una ecuación dinámica en el espacio de Hilbert: i ∂ t ψ ( t , X ) = H ψ ( t , X ) . Las soluciones de esta ecuación no son todas funciones propias de H . Sin embargo, dada una función propia (si existe en el espacio de Hilbert) ψ mi ( X ) tal que H ψ mi ( X ) = mi ψ mi ( X ) ( mi ∈ R ), entonces la solución asociada ψ mi ( t , X ) de la ecuación de Schrödinger con ψ mi ( 0 , X ) = ψ mi ( X ) (condición inicial) es bastante simple: ψ mi ( t , X ) = mi − i t mi ψ mi ( X ) . Además, ψ mi ( t , X ) es una función propia para todo t ∈ R .

Respuestas (1)

El valor propio es algo con lo que los físicos deberían estar familiarizados. Para alguna matriz, A , multiplicado por algún vector X , obtenemos

(1) A X = λ X
dónde λ es el valor propio, una característica de A en X .

Una función propia está relacionada con la Ecuación (1). Dado un operador (un operador diferencial en el caso de la mecánica cuántica), A , actuando sobre una función , F ( X ) , tenemos la relación,

(2) A F = λ F
dónde λ todavía se llama valor propio. Una función que satisface esta relación se llama función propia .

Tenga en cuenta que no todas las funciones satisfacen esta relación. Por ejemplo, dado A = d d X (operador diferencial de primer orden) y F ( X ) = X 2 , la operación resultante es

A F = d d X ( X 2 ) = 2 X ≠ λ F ( X )
entonces esto no satisface (2). Sin embargo, si F ( X ) = mi k X , entonces
A F = d d X ( mi k X ) = k mi k X = k F ( X )
que satisface (2) con valor propio λ = k .

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