¿Por qué la derivada parcial de la función de energía de deformación con respecto a la deformación es igual a la tensión?

1. Sí, la relación

$$\mathrm{stress}=d(\mathrm{strain\,energy\,density})/d(\mathrm{strain})$$ se cumple para todos los cuerpos elásticos, no solo para los cuerpos linealmente elásticos. Esta ecuación implica que todo el trabajo diferencial se convierte en energía de deformación elástica, que es válida incluso para materiales elásticos no lineales (p. ej., materiales hiperelásticos). Sin embargo, la ecuación no se aplicaría a la deformación plástica, por ejemplo, en la que cantidades sustanciales de trabajo se convierten en calor y se gastan a través de la formación de defectos de cristal.

2. En cuanto a la intuición detrás de esta ecuación , podemos decir que cualquier forma de agregar energía a un sistema involucra dos parámetros (llamados variables termodinámicas conjugadas): una fuerza generalizada y un desplazamiento generalizado. El primer término es intensivo; es decir, si duplicara el tamaño del sistema, entonces la fuerza generalizada permanecería igual. El segundo término es extensivo; si duplicara el tamaño del sistema, entonces este término también se duplicaría.

El ejemplo más simple de una fuerza y ​​un desplazamiento generalizados es una fuerza real$F$y desplazamiento$x$y las ecuaciones conocidas$w=\boldsymbol{F\cdot x}$y$dw=F\,dx$para el trabajo$w$. Otro ejemplo es la presión$P$y volumen$V$:$dw=-P\,dV$, apareciendo el signo menos porque la presión es compresiva. Observe cómo un gradiente de presión, la variable intensiva, impulsa un cambio de volumen, la variable extensiva. Este efecto es común para todos estos pares, cuyas unidades se multiplican invariablemente para dar unidades de energía.

(Este marco se aplica incluso a la calefacción: la energía del sistema$U$aumenta con$T\,dS$, donde los gradientes de temperatura$T$conducir cambios en la entropía$S$. Aquí nuevamente, las unidades se multiplican para dar unidades de energía).

Otro ejemplo más de un par conjugado es el estrés y la deformación. Bueno, en realidad, esto no es del todo cierto. Si observa las unidades, verá que el producto de la tensión y la deformación tiene unidades de energía volumétrica. Entonces podemos trabajar con la densidad de energía de deformación elástica o lo que llamas arriba la función de energía de deformación$W$, o podemos trabajar en términos de energía multiplicando por el volumen, como en la relación fundamental para un sistema cerrado de primer orden bajo una carga mecánica general:$dU=T\,dS+\boldsymbol{\bar{\sigma}} V\,d\boldsymbol{\bar{\epsilon}}$, dónde$\boldsymbol{\bar{\sigma}}$y$\boldsymbol{\bar{\epsilon}}$son los tensores de tensión y deformación, respectivamente. (Si la carga es presión, o esfuerzo de compresión equitriaxial, entonces recuperamos el familiar$dU=T\,dS-P\,dV$.)

3. En cuanto a derivar su ecuación destacada, verifiqué las propiedades físicas de los cristales de Nye y la resistencia avanzada y la elasticidad aplicada de Ugural & Fenster , y proceden como lo hace: defina el aumento en la energía de deformación de una carga uniaxial aplicada a un elemento diferencial y luego construir hasta el caso 3D completo. Para un material isotrópico (que obedece la Ley de Hooke generalizada ), por ejemplo, Ugural & Fenster obtienen una densidad de energía de deformación de

$$W=\frac{1}{2E}\left(\sigma_{x}^2+\sigma_{y}^2+\sigma_{z}^2\right)-\frac{\nu}{2E}\left(\sigma_{x}\sigma_y+\sigma_{y}\sigma_z+\sigma_{x}\sigma_z\right)+\frac{1}{2G}\left(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{xz}^2\right).$$

¿Por qué la derivada parcial de la energía de deformación con respecto a los componentes de deformación da los componentes de tensión?

Debido a que la densidad volumétrica de la energía potencial elástica (apuesto a que eso es lo que llamas "función de energía de deformación", usaré la "$\Pi$"letra para ello) es una forma cuadrática sobre el tensor de deformación (deformación)$\boldsymbol{\varepsilon}$

$$\Pi = \frac{1}{2} \boldsymbol{\varepsilon} {\cdot\cdot} \boldsymbol{M} {\cdot\cdot} \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2} \sum_{a,b,c,d} \varepsilon_{ab} M_{abcd} \varepsilon_{cd}$$ donde el tensor tetravalente$\boldsymbol{M}$con componentes$M_{abcd}$es el tensor de módulos elásticos (tensor de rigidez).

Por tanto su derivada es

$$\frac{\partial \Pi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}} = \boldsymbol{\varepsilon} {\cdot\cdot} \boldsymbol{M}, \quad \frac{\partial \Pi}{\partial \varepsilon_{cd}} = \sum_{a,b} \varepsilon_{ab} M_{abcd}$$

La segunda derivada es solo el tensor de rigidez.

$$\frac{\partial^2 \Pi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon} \partial \boldsymbol{\varepsilon}} = \boldsymbol{M}, \quad \frac{\partial^2 \Pi}{\partial \varepsilon_{ab} \partial \varepsilon_{cd}} = M_{abcd}$$ - esto puede tomarse como su definición. Es simétrico sobre pares de índices.$M_{abcd} = M_{cdab}$, más dentro de cada par debido a la simetría de$\boldsymbol{\varepsilon}$:$M_{abcd} = M_{bacd}$,$M_{abcd} = M_{abdc}$

Y también está la ley de Hooke en su formulación más abstracta, diciendo que el tensor de tensión$\boldsymbol{\sigma}$es igual a

$$\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \boldsymbol{\varepsilon} {\cdot\cdot} \boldsymbol{M} , \quad \sigma_{cd} = \sum_{a,b} \varepsilon_{ab} M_{abcd}$$

Finalmente, aquí está la definición de energía de lo que es el tensor de estrés

$$\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \frac{\partial \Pi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}}$$

¿Se cumple esta ecuación para todos los cuerpos elásticos? ¿O simplemente elasticidad lineal?

Bueno, para la teoría de la deformación finita hay muchas medidas diferentes de deformación (deformación) y muchas medidas diferentes de tensión. Si quieres algo de energía conjuga con el gradiente de deformación$\boldsymbol{F}$, echa un vistazo al primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff$\boldsymbol{T}$, por eso es

$$\boldsymbol{T} = \frac{\partial \Pi}{\partial \boldsymbol{F}}$$ (aquí$\Pi$sigue siendo la densidad volumétrica de la energía potencial elástica)
o es posible que desee el segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff$\boldsymbol{S}$, que es energía conjugada con la deformación de Cauchy-Green$\boldsymbol{C}$ $$\boldsymbol{S} = \frac{\partial \Pi}{\partial \boldsymbol{C}}$$