¿Por qué el vector de tracción depende de la orientación de la superficie (sección)?

Antes de comenzar a esbozar mi comprensión, permítanme vincular dos preguntas relacionadas sobre Physics SE aquí y aquí . Además, permítanme darles mis principales fuentes para aprender mecánica continua en las que mi respuesta se inspirará principalmente:

• Haupt, Mecánica continua y teoría de materiales, Berlín Heidelberg: Springer, 2000
• Liu, Mecánica continua, Berlín, Heidelberg: Springer, 2002

Dejar$\mathcal{P}$ser parte del cuerpo material con superficie$\partial\mathcal{P}$. Suponemos ahora que hay dos tipos de fuerzas que pueden actuar sobre esta parte del cuerpo. Por un lado, hay fuerzas que actúan sobre la mayor parte del material ("sobre cada una de las innumerables pequeñas partículas que componen el cuerpo") y podemos caracterizarlas por una densidad de fuerza del cuerpo. Por otro lado, hay fuerzas que en realidad se transmiten a través del cuerpo material como fuerzas de contacto y, por lo tanto, para la parte del cuerpo.$\mathcal{P}$solo actúan en su superficie$\partial\mathcal{P}$. Una fuerza típica como esta es la presión a través de un fluido. Estas contribuciones de fuerza en la superficie son la tracción superficial.$\vec{\mathbf{t}}$. El teorema de Cauchy establece que existe un campo tensorial, el tensor de tensiones de Cauchy$\mathbf{T}$, que para una superficie con superficie normal$\vec{\mathbf{n}}$da la tracción sobre esa superficie en ese punto como$\mathbf{T}\vec{\mathbf{n}}$. El punto importante aquí es que el vector de tracción depende de la superficie elegida por definición porque representa la contribución de la fuerza sobre una parte del cuerpo que está encerrada por esta superficie elegida. Si elegimos una superficie diferente, también obtenemos una fuerza físicamente diferente porque es la fuerza sobre otra parte del cuerpo.

Te diré lo que sucedería si el vector de tracción no dependiera de la orientación del elemento de superficie. Tomemos un caso simple: un cuerpo de agua estacionario en ausencia de gravedad. Dado que el agua es estacionaria, no hay fuerzas cortantes que actúen sobre o dentro de ella. Esto significa que el vector de tracción debe ser normal a cualquier elemento de superficie dado. Esto solo muestra un caso en el que el vector de tracción depende de la orientación del elemento de superficie.

Pero demos un paso más y consideremos un volumen cúbico infinitesimal de agua, que debe estar en equilibrio. Si todos los vectores de tracción apuntaran en la misma dirección, independientemente de la orientación del elemento de superficie, las fuerzas en las seis caras del cubo se sumarían para dar una fuerza resultante en el elemento fluido, y por lo tanto no podría estar en equilibrio. Este argumento puede generalizarse a cualquier material en equilibrio. Por lo tanto, el vector de tracción debe depender en general de la orientación del elemento de área superficial.

Es una buena pregunta. Un ejemplo de una idea intuitiva es una carga de tracción uniaxial de una varilla en el$x$dirección. El tensor de tensión tiene solo un componente distinto de cero:$\sigma_{xx}$.

Si multiplicamos la matriz tensorial por la dirección (1,0,0) el resultado es exactamente la tensión de tracción$\sigma_{xx}$.

Si la superficie tiene cualquier otra orientación:

$n = (sin(\theta)cos(\phi),sin(\theta)sin(\phi),cos(\theta))$, el resultado es$sin(\theta)cos(\phi)\sigma_{xx} < \sigma_{xx}$.

El significado es que si diseñamos una varilla con un plano más débil para alguna orientación, para inducir una ruptura prematura y controlada, la carga mínima necesaria corresponde a una sección transversal. Cualquier otra orientación tiene un área más grande y da como resultado una tracción menor para la misma carga, no lo suficiente como para romper la varilla.