Cómo determinar la velocidad de deformación plástica

Primero, voy a definir alguna notación. Prefiero la notación directa de la mecánica continua moderna tal como la presentan en este libro Gurtin et al., por lo que no llevaré los índices que usted usa. Por último, lo siguiente es válido para pequeñas deformaciones , plasticidad independiente de la velocidad con endurecimiento isotrópico .

• $\mathbf{T}$= Tensor de tensiones de Cauchy
• $\mathbf{T}_0 = \mathbf{T} - \frac{1}{3}\mathrm{tr}(\mathbf{T}) \mathbf{1}$= Parte desviadora de la tensión de Cauchy
• $\bar{\sigma} = \sqrt{\frac{2}{3} \mathbf{T}_0 : \mathbf{T}_0}$= Esfuerzo de tracción equivalente
• $\mathbf{N}^p = \sqrt{\frac{3}{2}}\frac{\mathbf{T}_0}{\bar{\sigma}}$= Dirección del flujo plástico (asumir codireccionalidad)
• $\mathbf{E} = \mathbf{E}^e + \mathbf{E}^p$= Descomposición de deformación aditiva
• $\mathbf{T} = \mathbb{C}:\mathbf{E}^e = (2G)\mathbf{E}^e + \lambda\mathrm{tr}(\mathbf{E}^e)\mathbf{1}$= Ecuación constitutiva de la elasticidad linealizada
• $\dot{\mathbf{E}}^p = \sqrt{\frac{3}{2}}\dot{\bar{\epsilon}}^p \mathbf{N}^p$
• $\dot{\bar{\epsilon}}^p = \sqrt{\frac{2}{3}} |\dot{\mathbf{E}}^p|$= velocidad de deformación plástica equivalente
• $\bar{\epsilon}^p = \int_0^t \dot{\bar{\epsilon}}^p(t')\,dt'$= deformación plástica acumulada
• $Y(\bar{\epsilon}^p)$= "resistencia al flujo" = límite elástico de tracción 1D$\sigma_y$(funcion de$\bar{\epsilon}^p$)
• $H(\bar{\epsilon}^p) = \frac{dY}{d\bar{\epsilon}^p}$= tasa de endurecimiento por deformación
• $f(\mathbf{T}_0, Y(\bar{\epsilon}^p)) = \bar{\sigma} - Y(\bar{\epsilon}^p) \le 0 \; \forall \,\mathbf{T}, \,Y$<-- Función de rendimiento

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A continuación, escribimos la condición de consistencia de Kuhn-Tucker en el rendimiento (que ocurre en$f=0$):

• Si,$f = 0$entonces$\dot{\bar{\epsilon}}^p \dot{f} = 0$.

Esto puede parecer una declaración fuerte, y lo es, pero si piensa en todos los posibles tipos de carga desde un punto en la "superficie de fluencia" (definida como todos los estados de tensión que dan$f=0$), encontrará que esto es cierto.

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Ahora, aplicamos esta condición para encontrar$\dot{\bar{\epsilon}}^p$. Primero, calcule$\dot{f}$.

$$\begin{align} \dot{f} &= \sqrt{\frac{3}{2}} \dot{\bar{\sigma}} - \dot{Y}\\ &= \sqrt{\frac{3}{2}} \frac{\dot{\mathbf{T}}_0 : \mathbf{T}_0}{|\mathbf{T}_0|} - H(\bar{\epsilon}^p)\dot{\bar{\epsilon}}^p\\ &= \sqrt{\frac{3}{2}} \dot{\mathbf{T}}_0 : \mathbf{N}^p - H(\bar{\epsilon}^p)\dot{\bar{\epsilon}}^p \\ &= \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)(2G)[\dot{\mathbf{E}} - \dot{\mathbf{E}}^p] : \mathbf{N}^p - H(\bar{\epsilon}^p)\dot{\bar{\epsilon}}^p \\ &= \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)(2G)\dot{\mathbf{E}} : \mathbf{N}^p - (3G + H)\dot{\bar{\epsilon}}^p \end{align}$$

Ahora, tenemos que considerar tres casos: 1) Descarga elástica, 2) Carga neutra, 3) Carga plástica

1. Descarga Elástica: Esto es como liberar el estrés en un cuerpo que está en su punto de fluencia. De este modo,$\dot{\bar{\epsilon}}^p = 0$, y$\dot{\mathbf{E}}:\mathbf{N}^p < 0$. Por lo tanto,$\dot{f} < 0$.
2. Carga neutral: esta es un poco más complicada. Aquí, la carga es tangente a la superficie de fluencia. Para este caso, la tasa de deformación es ortogonal a la dirección del flujo plástico, por lo tanto$\dot{\mathbf{E}}:\mathbf{N}^p = 0$. Aquí, todavía, no hemos cargado el cuerpo plásticamente, por lo que$\dot{\bar{\epsilon}}^p = 0$. En los códigos, esto generalmente se maneja sin consideración especial por los casos anteriores o posteriores, con el mismo resultado.
3. Carga plástica: Aquí, estamos cargando el cuerpo plásticamente. Esto significa que$\dot{\mathbf{E}}:\mathbf{N}^p > 0$. Desde$f=0$en la superficie de fluencia, y$f$no puede tener un valor positivo, esto significa que$\dot{f} = 0$. Así es como podemos encontrar el valor de$\dot{\bar{\epsilon}}^p$.

$$\dot{\bar{\epsilon}}^p = \frac{\sqrt{3/2} (2G) (\dot{\mathbf{E}}:\mathbf{N}^p)}{3G + H(\bar{\epsilon}^p)}$$

Pasé por alto algo del álgebra más tediosa y enterré la suposición de que$(3G + H)>0$, lo cual es cierto para todos los casos que he encontrado. Puede continuar desde aquí para calcular el llamado módulo "elastoplástico", que es necesario para realizar la integración implícita en un método de elementos finitos.