¿Por qué la conjugación como relación de equivalencia es especial en los grupos?

Tomemos un grupo de rotaciones de un cubo.

Hay 24 elementos en este grupo, echemos un vistazo a estos dos:

• A: gira el cubo 90 grados en el sentido de las agujas del reloj alrededor de los ejes x
• B: girar el cubo 90 grados en el sentido de las agujas del reloj alrededor de los ejes z

Estos dos elementos son obviamente diferentes, pero se ven algo similares. Una persona que mira nuestro cubo desde una dirección diferente puede incluso confundirse con estas descripciones. Pero, por ejemplo, el elemento "C: girar el cubo 120 grados alrededor de esta diagonal" es muy diferente de A y de B.

Los elementos A y B están conjugados, eso significa$A = x * B * x^{-1}$, y esta operación de conjugación es en realidad "echemos un vistazo a nuestro grupo desde otra dirección,$x$define esta otra dirección".

Si tenemos dos personas mirando nuestro cubo desde diferentes direcciones, puede suceder que la primera persona tome nuestra descripción del elemento A, la segunda tome nuestra descripción del elemento B, pero corresponderían a la misma rotación real del cubo.

Los elementos conjugados son algo indistinguibles, por eso existe una relación de equivalencia entre ellos.

ACTUALIZAR :

En realidad, es una respuesta a una pregunta de un comentario sobre cómo$x$y "mirar desde otra dirección" están relacionados.

Volvamos al ejemplo con rotaciones de cubo. Imagina que te sientas a la mesa, el cubo está frente a ti. Tu amigo se sienta en la misma mesa, mira el mismo cubo desde la derecha. Entonces, la cara del cubo que es "correcta" para ti es "frontal" para él.

Describe una de las rotaciones del cubo: "A: gira el cubo 90 grados en el sentido de las agujas del reloj alrededor del eje que va de la cara izquierda a la cara derecha".

Quiere averiguar cuál es la descripción de esta rotación en su marco de referencia. Una forma de hacerlo sería:

1. muévete a la derecha, al asiento que ocupaba tu amigo
2. hacer la rotación A como se describe
3. volver a su asiento original
4. mire la orientación actual del cubo y describa la rotación que mueve el cubo del estado original al estado actual.

¡Pero en lugar de moverte alrededor del cubo, puedes mover el cubo! Entonces, los pasos serían:

1. girar el cubo alrededor de los ejes verticales 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj
2. hacer la rotación A como se describe
3. girar el cubo alrededor de los ejes verticales 90 grados en el sentido de las agujas del reloj

Entonces, en su marco de referencia, la rotación será un producto de estas tres rotaciones:

(recuerda eso$x * A * x^{-1}$corresponde a (paso 3) * (paso 2) * (paso 1) )

Bien,

dónde

es el centro de$G$y${\rm Inn}(G)$es el grupo de automorfismos internos de$G$; es decir, para todos$g\in G$,$c_g\in{\rm Inn}(G)$si y si$c_g: G\to G$tal que$c_g(h)=ghg^{-1}$para todos$h\in G$. No hay otros automorfismos internos.

La importancia de la conjugación grupal se reduce a lo siguiente.

La conjugación es un automorfismo de un grupo. En muchos campos de las matemáticas, los automorfismos son de gran importancia ya que son, en esencia, las simetrías de la estructura subyacente. Entre todos los automorfismos de un grupo, las conjugaciones son especiales, ya que su descripción$c_g(x) = gxg^{-1}$funciona de manera uniforme en todos los grupos y solo requiere aritmética básica de grupos. En este sentido:

1. Las conjugaciones son las "obvias" o las " simetrías naturales " de un grupo.

APÉNDICE

Otras respuestas insinúan el papel de la conjugación en las acciones grupales. En pocas palabras, se puede expresar como:

2. La conjugación es la fórmula para el " cambio de base " en las acciones generales del grupo.

Si bien es importante tener en cuenta esta interpretación, sigo pensando que la razón principal de la importancia de la conjugación es № 1. Porque funciona para grupos generales, sin la necesidad de introducir ninguna estructura adicional (como el grupo actuando en algún conjunto) .

1. En la teoría de grupos, la acción grupal es una herramienta muy importante.

El grupo que actúa sobre sí mismo es un tipo de acción grupal importante.

El grupo que actúa sobre sí mismo mediante la multiplicación por la izquierda nos da una forma de ver el famoso y más importante teorema de la teoría de grupos, el teorema de Cayley (Cada grupo$G$se puede incrustar dentro de un grupo de permutación$A(S)$para un apropiado$S$)

Otro importante grupo de acción que actúa sobre sí mismo por conjugación.

$\phi:G×G\to G$por

$\phi(g, s) =gsg^{-1}$

Entonces,$orbit(s) =O(s)=\{g\cdot s : g\in G \}$

Definir una relación$\sim$en$G$,

$s_1 \sim s_2$si$s_1 =gs_2 g^{-1}$para algunos$g\in G$

Entonces,$\sim$es una relación de equivalencia, se llama relación de conjugación.

Y,$[s]=O(s)=$= clase de conjugación de$s$

Es importante demostrar la ecuación de clase y el teorema de Sylow, herramienta importante para analizar grupos de orden finito.

2. La importancia de cualquier relación de equivalencia es que divide el conjunto en clases de equivalencia disjuntas.

3. $\phi:G\to G$definido por

$\phi_g(s) =gsg^{-1}$es un automorfismo interior.

Y si$H\le G$y$H$es estable bajo conjugación, es decir$\phi(H) =H$, luego esto$H$es un tipo importante de subgrupo de$G$, llamado subgrupo normal.