¿Por qué los grupos son más importantes que los semigrupos?

Para agregar un comentario relacionado con la respuesta de Jim Belk y los comentarios del OP sobre esa respuesta:

En muchas situaciones que ocurren naturalmente, incluidas algunas en las que la teoría de grupos es particularmente útil, los endomorfismos son automáticamente automorfismos.

Por ejemplo, si$E/F$es una extensión finita de campos, cualquier endomorfismo de$E$cual es la identidad en$F$es automáticamente un automorfismo de$E$.

Como otro ejemplo, si$C$es una superficie de Riemann de género al menos$2$, entonces cualquier endomorfismo (no constante) de$C$es necesariamente un automorfismo.

Cualquier endomorfismo de un espacio euclidiano que conserva longitudes es necesariamente un automorfismo.

Otro punto a tener en cuenta es que los grupos que surgen en la práctica de la geometría son a menudo grupos de Lie (es decir, tienen una estructura topológica compatible, incluso una variedad suave). Se puede definir una noción más general de semigrupo de Lie, pero si su semigrupo de Lie tiene una identidad (también lo es un monoide de Lie) y la estructura del semigrupo no está degenerada en algún nh de la identidad, entonces el semigrupo de Lie será automáticamente un grupo de Lie. (al menos en un nh de la identidad). Un comentario relacionado: en la definición de un grupo formal , no hay necesidad de incluir un axioma explícito sobre la existencia de inversos.

Para hacer un punto relacionado con la respuesta de Qiaochu Yuan: en algunos contextos, los semigrupos aparecen naturalmente.

Por ejemplo, estudiar los anillos de endomorfismos de un objeto es una técnica muy común en muchas áreas de las matemáticas. (Por ejemplo, solo para hacer una conexión con mi primer punto, para el género$1$superficies de Riemann, puede haber endomorfismos que no son automorfismos, pero luego género$1$Las superficies de Riemann también se pueden convertir naturalmente en grupos abelianos --- las llamadas curvas elípticas --- y existe toda una teoría, la teoría de la multiplicación compleja, dedicada a estudiar sus anillos de endomorfismos.)

Como otro ejemplo, cualquier anillo de char.$p > 0$tiene un endomorfismo de Frobenius, que no es un automorfismo en general; pero el semigrupo de endomorfismos que genera suele ser algo importante a considerar en char.$p$álgebra y geometría. (Por supuesto, este semigrupo es solo un cociente de$\mathbb N$.)

Una cosa a tener en cuenta es lo que espera lograr al considerar el grupo/semigrupo de automorfismos/endomorfismos.

Una ventaja típica de los grupos es que admiten una teoría sorprendentemente rígida (p. ej., los grupos de Lie semisimples pueden clasificarse por completo; los grupos simples finitos pueden clasificarse por completo), por lo que si descubre un grupo escondido en su contexto matemático particular, podría ser un problema. objeto ya bien conocido, o al menos puede haber mucha teoría conocida que puede aplicarle para obtener una mayor comprensión de su situación particular.

Los semigrupos son mucho menos rígidos y, en consecuencia, hay menos que se pueda aprovechar al descubrir un semigrupo que acecha en su contexto particular. Pero esto no siempre es verdad; Los anillos ciertamente están bien estudiados, y la apariencia de un anillo dado en algún contexto a menudo se puede aprovechar con mucha ventaja.

Un sistema dinámico que involucra solo un proceso se puede considerar como una acción del semigrupo$\mathbb N$. Aquí no hay mucho que obtener de la teoría general de semigrupos, pero este es un contexto frecuentemente estudiado. (Solo para dar un ejemplo quizás no estándar, el endomorfismo de Frobenius de un char.$p$anillo es un sistema tan dinámico.) Pero, en tales contextos, precisamente porque la teoría general de semigrupos no ayuda mucho, las herramientas utilizadas serán diferentes.

Por ejemplo, en topología, el teorema del punto fijo de Lefschetz es una herramienta típica que se utiliza para estudiar un endomorfismo de (es decir, un sistema dinámico discreto en) un espacio topológico. Curiosamente, la misma fórmula se utiliza para estudiar la acción de Frobenius en char.$p$geometría (ver las conjeturas de Weil ). Entonces, incluso en contextos como la acción del semigrupo$\mathbb N$, hay una filosofía coherente que se puede discernir, es solo que es proporcionada por topología en lugar de álgebra, ya que el álgebra no tiene mucho que decir.

Creo que la conclusión que se debe extraer es no ser demasiado doctrinario y ser sensible a los contextos matemáticos reales en los que y de los cuales surgen y han surgido las diversas nociones de grupo, semigrupo, automorfismo y endomorfismo.

Es cierto que los grupos son mucho más importantes en matemáticas que los semigrupos. Hay dos razones básicas para esto:

1. Los grupos son la encarnación matemática del concepto de simetría . En los ejemplos que das, pareces equiparar la idea de simetría con automorfismos de objetos algebraicos. Sin embargo, la mayoría de las simetrías que preocupan a los matemáticos son geométricas o analíticas, como las simetrías rígidas de un poliedro, las transformaciones de cubierta de un espacio que cubre, los automorfismos de un gráfico, las simetrías continuas de un sistema de ecuaciones diferenciales, las isometrías de un espacio métrico, etc. En estos casos, no hay un análogo obvio de "endomorfismo" que pueda usarse para formar un semigrupo. Incluso si lo hubiera, el semigrupo no sería tan útil, porque los endomorfismos más interesantes son los automorfismos.

2. Los objetos algebraicos tienden a tener muchos más endomorfismos que automorfismos, lo que hace mucho más fácil entender el grupo de automorfismos que el semigrupo de endomorfismos. Además, la definición de un grupo es lo suficientemente "rígida" como para conducir a una rica teoría estructural, lo que hace que sea mucho más fácil investigar la estructura de un grupo dado que la estructura de un semigrupo dado. De hecho, una de las primeras cosas que le gustaría entender sobre un semigrupo sería la estructura del grupo de unidades.

De estas dos razones, diría que la primera explica por qué los grupos son mucho más importantes para las matemáticas en general, mientras que la segunda ayuda a explicar por qué los grupos son más importantes incluso dentro del contexto del álgebra abstracta.

No estoy de acuerdo con que los grupos sean más importantes que los semigrupos. Por ejemplo, la multiplicación de un anillo sin identidad lo convierte en un semigrupo, y los anillos son increíblemente importantes en matemáticas. De hecho un anillo sin identidad no es más que un semigrupo interno a la categoría de grupos abelianos con producto tensorial.

Lo que sí creo que es el caso es que los grupos fueron los primeros en ser estudiados históricamente porque es más natural pensar en isomorfismos que endomorfismos (no es del todo obvio desde la perspectiva de nuestros ancestros matemáticos que un no-isomorfismo es un algo útil en lo que pensar) y que los grupos son más fáciles de estudiar ya que tienen más estructura (por ejemplo, la teoría de la representación de grupos finitos es mucho más fácil que la de monoides o semigrupos; consulte esta pregunta ).

Había pensado en esto durante mucho tiempo, esto es lo que obtuve.

No creo que los semigrupos sean menos importantes que los grupos, principalmente porque los grupos también son semigrupos. Creo que muchas personas tienden a ignorar los semigrupos porque no podemos probar mucho personal con axiomas de semigrupos, por cierto, lo mismo se aplica a los axiomas de grupos: cada ecuación en un grupo siempre tiene una solución única, los homomorfismos de grupo conservan identidades e inversas, y pocos más. Muchos otros teoremas se pueden probar si agregamos alguna hipótesis, por ejemplo, si agregamos que un grupo también es finito, podemos probar muchas cosas (Lagrange, Cauchy y el teorema de Sylow, por ejemplo), otras cosas se pueden probar si requerimos que nuestro grupo tiene también una estructura topológica compatible con la estructura del grupo. El punto es que para probar resultados significativos en todas las matemáticas tenemos que agregar más propiedades que los axiomas de grupos (pero lo mismo vale para otras estructuras como espacios topológicos). Entonces, para producir resultados significativos sobre los semigrupos, debemos considerar los semigrupos con más estructura que los de los semigrupos: una forma es agregar propiedades a la operación (por ejemplo, agregar identidad o inversas), otra forma es dar una acción (o representación) de nuestro semigrupo (por ejemplo, si hicimos actuar nuestro monoide en un grupo abeliano (con el mismo conjunto subyacente) obtenemos anillos [con o sin identidades, dependiendo de si nuestros semigrupos también son monoides]).

Yo daría un paso atrás y hablaría de magmas. un magma$M$es un conjunto de objetos y un "producto"$*\colon M\times M \rightarrow M$. Podemos pensar en un magma como una colección de árboles (binarios) para algún conjunto. En particular, un magma es básicamente una noción que describe la "sintaxis" o "relaciones de posición" para alguna clase de objetos. Pero los axiomas del magma son muy débiles. Un magma incluye todas las "relaciones de posición", y ninguno de los elementos es (necesariamente) especial de ninguna manera. De hecho, casi lo único que puede probar sobre todos los magmas a la vez es que$x = x$.

Tenga en cuenta que un semigrupo es un magma asociativo. En particular, eso significa que algunos árboles deben ser tratados como iguales a otros árboles. Súper, pero ninguno de los elementos es (necesariamente) especial de todos modos.

en el magma$\rightarrow$semigrupo$\rightarrow$Jerarquía grupal, el grupo es la primera clase que impone condiciones especiales a sus objetos, y no meramente al producto. Captura alguna noción de "semántica" para los elementos más allá de simplemente decir que "estos dos caminos van al mismo objeto". (Podría decirse que los elementos en sí mismos son objetos "similares a caminos", y la teoría de grupos es lo que obtenemos cuando estas dos nociones distintas de "camino-ness" interactúan)

Hay otra estructura que es más débil que los grupos, pero es importante. Esos son cuasigrupos. Los cuasigrupos son informalmente "magmas con inversos".

Creo que sería injusto comparar dos estructuras, cuando una tiene más axiomas que la otra. Es por eso que deberíamos analizar más por qué los cuasigrupos brindan una teoría más rica que la de los semigrupos, lo cual ciertamente es así.

Los cuasigrupos se conectan a la combinatoria, por ejemplo, la tabla de Cayley de cualquier cuasigrupo finito es un cuadrado latino y viceversa. Tienen interpretaciones geométricas. La teoría general creo que es más débil que la de los grupos, podría ser una combinación de razones, creo que es porque son menospreciados, son más difíciles de trabajar y los resultados son más técnicos y más combinatorios. No creo que la teoría pueda rivalizar con la de los grupos, pero ciertamente es lo suficientemente rica como para ser útil, lo que no creo que lo sea la teoría de los semigrupos.

La asociatividad de grupos es, en mi opinión, solo un eslabón perdido, una simplificación muy conveniente.

Concluyendo, creo que la razón por la que los grupos dan una teoría mucho mejor que los semigrupos es la operación inversa.

Desde mi punto de vista, la estructura "más natural" se encuentra en medio de las dos estructuras, es decir, la del monoide. Un monoide es solo un conjunto con una operación asociativa y una identidad con respecto a esta operación. Ejemplos son: grupos, anillos con respecto a la multiplicación, endomorfismos de un objeto..

Las razones por las que creo que la teoría de grupos tiene tanto éxito son varias:

1. Su teoría tiene profundas raíces en la teoría de Galois, que ha mostrado unas matemáticas muy avanzadas para su época;
2. Está en el punto medio de una amplia variedad de enfoques y aplicaciones: grupos algebraicos, teoría invariante, clasificación de grupos en topología algebraica, teoría K en álgebra homológica, teoría de representación en álgebra lineal y mucho más, geometría diferencial con grupos de Lie, conexiones con (semisimple) Álgebras de mentira, combinatoria en teoría de grupos finitos, teoría de grafos en el estudio de geoups libres... Es realmente increíble.
3. Todas estas teorías citadas se entienden sorprendentemente bien y muestran estructuras ricas pero no imposibles.

Sin embargo, siempre hay un sin embargo en las buenas historias, a veces somos nosotros los humanos los que necesitamos hipótesis adicionales para estudiar y comprender mejor las cosas. Por eso, también en el caso de grupos finitos, mucha gente por ejemplo se concentrará en p grupos, y así sucesivamente... Quizás, por eso nos concentramos en grupos y no en monoides generales, ¿no? Pero demos un paso atrás. ¿Qué estamos haciendo? ¿Qué queremos de una estructura algebraica? ¿Dónde se generan?

Permítanme presentarles el concepto de Operad. Una ópera es una colección de conjuntos$O(n)$, que debes pensar como corolas con$n$hojas directamente conectadas a una raíz debajo. Tal ópera viene equipada con una forma de componer tales corolas.

aqui hay que pensar que estas "enchufando" las k corolas con respectivamente$n_1, \ldots, n_k$hojas en una corola de k hojas, para obtener una corola de$n_1+\ldots+n_k$hojas. Esta "composición de corolas", cuando se conectan tres capas, debería ser de alguna manera asociativa. Sin embargo, no importa.

Déjame darte un ejemplo de una ópera. Esto es muy importante. Tome un objeto X en una categoría de monoides. Si no se siente cómodo con esto, puede imaginar que se trata de un conjunto, un espacio vectorial, un espacio topológico... La noción correspondiente de endomorfismo variará según lo imagine. Monoide aquí significa aproximadamente que puedes hacer el producto directo, y supongamos que es una coincidencia con nuestros monoides por el momento.

Definir la operación de endomorfismo$End_X$como teniendo$End_X(n) = Hom(X^n, X)$, y la composición de las corolas viene dada por

Dónde$f_i: X^{n_i}\to X$,$x_i \in X ^{n_i}, g: X^k \to X$. Esto es un poco difícil de digerir, pero puedes imaginar que has conectado tus entradas$x_i$en las corolas (que son las$f_i$y$g$) y dejar que fluyan hasta la raíz.

Déjame darte otros dos ejemplos. Definir$Ass$ser la ópera que tiene en grado$n$el grupo simétrico$S_n$y la composición está dada de una manera extraña, pero lo entenderás en un momento. Tenga en cuenta que$S_n$está en correspondencia biyectiva con las posibles formas de ordenar$n$variables en un producto. Definir$Comm$tener un solo elemento en cualquier grado.

Una última definición aburrida. Un morfismo de óperas$O \to P$es un mapa de grados$O(n) \to P(n)$que conmuta con composición de corolas. Supongamos que ahora tienes un morfismo de operad$Comm\to End_X$para algunos$X$. ¿Qué significa esto? Bueno, por ejemplo, la imagen del elemento único en$Comm(0)$define un elemento en$e \in Hom(X^0,X)\simeq X$. También elige un elemento$\mu \in Hom(X^2, X)$, tomando la imagen del único elemento en$Comm(2)$. Si revisa cuidadosamente las relaciones de conmutatividad de un morfismo de ópera, descubrirá que esto$\mu$debe definir un producto conmutativo y asociativo en$X$, y eso$e$debe ser el elemento neutral wrt$\mu$. Por el contrario, una estructura conmutativa y asociativa en$X$con un elemento neutro define tal morfismo. Genial, ¿no? Puedes hacer el mismo truco con$Ass$, y descubrirás que él es el responsable de la creación de productos asociativos.

De manera análoga, puede producir una amplia variedad de operaciones que codifican varias estructuras algebraicas. Los monoides, por ejemplo, están codificados por$Ass$. También hay Álgebras de Mentira, Álgebras de Anillos, Álgebras de Hopf, Álgebras de Pequeño Disco, Álgebras de Gerstenhaber, Álgebras de Poisson... También hay una gran característica de esta forma de elaborar estructuras algebraicas: las relaciones que se mantienen con un igual pueden relajarse para mantenerse con un " homotópico a", y todas las homotopías que aparecen de esta manera pueden organizarse en una estructura superior. La categoría Infinity se ocupa de formalizar estas cosas. Esa es una observación un poco "adulta", pero les juro que puede ser de importancia concreta (lo es, por ejemplo, en mi trabajo actual).

Pero... ¡Operads no puede codificar grupos! Simplemente puede decir que son un tipo especial de monoides, pero no hay ningún "Grps" de ópera que codifique los axiomas de un grupo. Sin embargo, este no es mi argumento principal; lo principal es que toda la construcción que hicimos se basa en categorías monoidales, que son fundamentales para toda la fábrica de estructuras algebraicas. Y sí, una categoría monoide simétrica es, en primera aproximación, exactamente un monoide en el que usamos categorías para codificar los axiomas: es una categoría$C$con un funtor$\mu: C \times C \to C$que es asociativo, y con un "elemento neutro", es decir, un elemento$1 \in C$tal que$\mu(X, 1) \simeq X \simeq \mu(1, X)$. Hay algunas relaciones que estos isomorfismos deberían satisfacer (relaciones del pentágono, creo), pero esto es un tecnicismo). En el tratamiento de Lurie de las categorías infinitas, que está en el límite del álgebra y la topología, uno no puede vivir sin categorías monoidales simétricas (pero podría vivir sin la teoría de grupos).

Lo siento por la larga respuesta. ¡Por favor comenta y déjame saber lo que piensas! Yo mismo tengo mis dudas sobre esta batalla de grupos monoides... Creo que al final optaré por la poligamia :)

Un semigrupo arbitrario puede carecer de un elemento de identidad (o elemento izquierdo o derecho) y/o elementos inversos para cada elemento del semigrupo. Esto impide una teoría tan rica sin otras restricciones en el semigrupo.