¿Sobre qué actúa el grupo de automorfismos exteriores? Si un automorfismo conserva las clases de conjugación, ¿es interno?

$\mathrm{Out}G$actúa sobre el conjunto de clases de conjugación.

Su afirmación no es cierta para algunos grupos infinitos. Un automorfismo que preserva las clases de conjugación se denomina automorfismo de conjugación o automorfismo de conservación de clases y la propiedad de que todo automorfismo de conjugación es interno se denomina propiedad de Grossman. Véase, por ejemplo, este artículo o esta pregunta .

Para grupos finitos aparentemente hay un teorema de Gary Seitz y Walter Feit (1984) que establece que los grupos simples finitos satisfacen la propiedad de Grossman (no pude encontrar el artículo). Pero en general para grupos finitos no es cierto ,

Aquí hay un ejemplo simple donde se viola la propiedad de Grossman:

Dejar$X$Sea un conjunto infinito. una permutación$\alpha$de$X$se dice que tiene soporte finito si existe un subconjunto finito$F\subset X$tal que$\alpha$corrige cada elemento de$X-F$.

El conjunto$Aut_f(X)$de permutaciones de$X$con apoyo finito forman claramente un subgrupo normal del grupo$Aut(X)$de todas las permutaciones de$X$.

Suponer que$\alpha$es cualquier permutación de$X$. Entonces para cada permutación$\beta\in Aut_f(X)$, las permutaciones$\alpha \beta \alpha^{-1}$y$\beta$son conjugados no solo en$Aut(X)$, pero también en$Aut_f(X)$(Te lo dejo como ejercicio para probarlo). Al mismo tiempo, para cada$\alpha$con apoyo infinito, el automorfismo de$Aut_f(X)$definido por