¿Por qué Klein-Gordon describiría el campo escalar de giro 0 mientras que Dirac describiría el giro 1/2?

Spin es una propiedad de la representación del grupo de rotación.$SO(3)$que describe cómo un campo se transforma bajo una rotación. Esto se puede calcular para cada tipo de campo o ecuación de campo.

El campo de Klein-Gordon da una representación de espín 0, mientras que la ecuación de Dirac da dos representaciones de espín 1/2 (que se fusionan en una sola representación si también se tienen en cuenta las simetrías discretas).

Las componentes de todo campo libre satisfacen la ecuación de Klein-Gordon, independientemente de su espín. En particular, cada componente de las ecuaciones de Dirac resuelve la ecuación de Klein-Gordon. De hecho, la ecuación de Klein-Gordon solo expresa la restricción de masa de la capa y nada más. El giro entra en juego cuando uno mira lo que sucede con los componentes.

Una rotación (y más generalmente una transformación de Lorentz) mezcla los componentes del campo de Dirac (o cualquier otro campo que no esté compuesto únicamente por campos de espín 0), mientras que en una$k$-component spin 0 campo, transformará cada componente por separado.

En general, una transformación de Lorentz dada como$4\times 4$matriz$\Lambda$cambia un$k$-campo componente$F(x)$dentro$F_\Lambda(\Lambda x)$, dónde$F_\Lambda=D(\Lambda)F$con un$k\times k$matriz$D(\Lambda)$Eso depende de la representación. Los componentes son campos de giro 0 si y solo si$D(\Lambda)$es siempre la identidad.

Repasemos cómo se recupera la ecuación KG del Dirac: (en unidades naturales donde$\hbar=c_0=1)$

Para que podamos recuperar KG, tuvimos que asumir$\gamma^\nu \gamma^\mu = \eta^{\mu\nu}$. En otras palabras, puedes pensar en las gammas como si fueran el producto punto de las deltas. Para tomar un pésimo ejemplo, es como si tuviéramos una ecuación que describe una velocidad "espinor" y luego la elevamos al cuadrado, por lo que ahora describe la velocidad "escalar" que tiene un grado menos de libertad. Esto no explica mucho más que cómo una ecuación que describe un espinor puede reducirse a una ecuación que describe un escalar.

La razón por la cual la ecuación de Dirac requiere espinores y no escalares es por la relatividad especial. Si no fuera por el molesto signo menos$\eta^{\mu\nu}$, el álgebra de las gammas sería mucho más simple y no necesitaríamos que fueran matrices de 4x4. Después$\Psi$podría describir un campo escalar.

Si decimos:

" Un campo tiene una representación de giro 0, giro 1/2 o giro 1 "

entonces, de hecho, decimos algo sobre cómo se transforman los parámetros del campo si pasamos de un marco de referencia a otro.

giro 0 : Los valores del campo no cambian si vamos de un marco de referencia a otro

giro 1 : Tenemos que aplicar la matriz transformada de Lorentz$\Lambda$en los parámetros del campo.

spin 1/2 : Tenemos que aplicar$\Lambda^{1/2}$en los parámetros del campo.

Observación: El uso de una expresión como$\Lambda^{1/2}$debe interpretarse de una manera un tanto simbólica porque los vectores y los bispinores son objetos diferentes. Aunque hay un factor adicional 1/2 en el exponente de la$\Lambda^{1/2}$matriz.

El giro (asociado con la rotación) entra aquí porque la matriz de transformación$\Lambda$maneja tanto impulsos como rotaciones. Sin embargo, el peculiar factor 1/2 surge también en la versión unidimensional de la ecuación de Dirac, donde no existe el giro (o rotación) y la correspondiente versión de 1 espacio + 1 dimensión temporal de$\Lambda$solo describe impulsos.

La razón más profunda del factor 1/2 es que la ecuación de Dirac relaciona dos componentes de campo$\psi_R$y$\psi_L$que son iguales entre sí en el marco de descanso. En el caso unidimensional, estos son los componentes que se mueven a la derecha y a la izquierda . La relación de las dos transformaciones de la siguiente manera

$(\psi_R:\psi_L)\longrightarrow\Lambda~(\psi_R:\psi_L)$

En la normalización de las funciones propias de onda plana, esto termina como

$\psi_R\longrightarrow\Lambda^{+1/2}\psi_R$

$\psi_L\longrightarrow\Lambda^{-1/2}\psi_L$

Si ahora volvemos a las 3 dimensiones espaciales, entonces$\Lambda$incluye impulsos y rotaciones y el factor 1/2 como exponente en las matrices de generación de rotación conduce a dos lo que llamamos partículas de espín 1/2.

Hans.

Spin es parte de lo que ES un campo. Los datos para dos campos de giros diferentes son muy diferentes. La ecuación de KG ni siquiera tiene sentido para un campo de espín 1/2 y tampoco para la ecuación de Dirac y los campos de espín 0.

Solo en ausencia de un campo electromagnético, las soluciones a la ecuación de Dirac también resuelven la ecuación de Klein-Gordon. La ecuación de Klein-Gordon se puede aplicar a campos de cualquier espín siempre que se pueda ignorar cualquier interacción con el espín.