¿Hay alguna razón por la que exista una teoría cuántica relativista de un solo fermión, pero no de un solo escalar?

No sé si el OP estará satisfecho con esto responde a la pregunta original, pero me gustaría ofrecer algo de contexto a todo esto.

Una partícula libre tiene un potencial uniforme, por lo que sin pérdida de generalidad$V=0$. La ecuación de Schrödinger luego se simplifica a

$$\dot{\psi}=\frac{i\hbar}{2m}\nabla^2\psi\quad\left(1\right)$$ entonces $\dot{\rho}=\frac{i\hbar}{2m}\left\{\psi^\ast\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\psi^\ast\right\}$. Como la probabilidad se conserva, admite una ecuación de continuidad; la probabilidad 3-actual $\mathbf{j}$obedece $\nabla\cdot\mathbf{j}=-\dot{\rho}$. Podemos elegir $\mathbf{j}:=\frac{i\hbar}{2m}\left\{\psi\boldsymbol{\nabla}\psi^\ast-\psi^\ast\boldsymbol{\nabla}\psi\right\}$(podemos agregar un rizo arbitrario a $\mathbf{j}$). Si una teoría relativista de 1 partícula va a funcionar, al menos una partícula libre en el espacio de Minkowski debería ser sencilla. En relatividad especial, las ecuaciones de continuidad se pueden escribir como $\partial_\mu j^\mu=0$. Puede comprobar que esta ecuación se satisface mediante soluciones de la masa- $m$Ecuación de Klein-Gordon $$c^{-2}\partial_t^2\psi-\nabla^2\psi+\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2=0,\quad\left(2\right)$$ siempre que definamos $j^\mu\left(\psi\right):=\frac{i\hbar}{2m}\left\{\psi\partial^\mu\psi^\ast-\psi^\ast\partial^\mu\psi\right\}$, que es una actualización relativista natural de $\mathbf{j}$. Por lo tanto, es natural suponer una integral adecuada de $j^0$escupe probabilidades.

Pero aquí llegamos a un problema. Si$\phi,\,\psi$son soluciones de igual masa de la ecuación de Klein-Gordon, también tenemos una integral conservada llamada su producto interno de Klein-Gordon ,

$$\left\langle\phi,\,\psi\right\rangle_{\text{KG}}:=i\int_{\mathbb{R}^3}\left(\phi^\ast\partial^0\psi-\left(\partial^0\phi^\ast\right)\psi\right)d^3\mathbf{x}.$$ El nombre es engañoso, porque este no es un verdadero producto interno; $\left\langle\psi,\,\psi\right\rangle_{\text{KG}}=\frac{2m}{\hbar}\int_{\mathbb{R}^3}j^0\left(\psi\right)d^3\mathbf{x}$puede ser negativo. De hecho, las soluciones de la Ec. (2) están cerrados bajo la operación $\psi\mapsto\psi^\ast$, que multiplica $\left\langle\psi,\,\psi\right\rangle_{\text{KG}}$por $-1$. ecuación (1) claramente no tiene un problema análogo (o su interpretación de probabilidad habitual no existiría). La razón por la cual es que, si queremos $\psi\mapsto\psi^\ast$para enviar una solución de Schrödinger a una solución de Schrödinger, también tenemos que imponer $t\mapsto -t$, que también multiplica los productos internos de Klein-Gordon por $-1$.

Y la razón por la cual las soluciones de Schrödinger requieren inversión de tiempo y las soluciones de Klein-Gordon no es debido a las paridades de los$\partial_t$exponentes En Schrödinger, el exponente es impar (es$1$); en Klein-Gordon, el exponente es par (es$2$). Para una piedra de toque clásica, estas paridades también son la razón por la cual$E=\frac{p^2}{2m}+V$produce una energía única pero

$$E^2=m^2c^4+p^2c^2\,\quad\left(3\right)$$ no.

Hoy en día, sabemos que la forma de manejar soluciones de "signo incorrecto" de la ecuación de Klein-Gordon es (i) escribir soluciones como sumas de partes de "frecuencia positiva" y "frecuencia negativa" que se intercambian bajo conjugación compleja (por lo que los espacios de los mismos tienen bases que se conjugan entre sí) y (ii) dicen que nuestras integrales espaciales calculan las diferencias entre el número de partículas y antipartículas.

Pensemos ahora en la ecuación de Dirac. Dirac esperaba poder agrupar soluciones de energía negativa de la ecuación. (3) con una ecuación que, como Schrödinger, era de primer orden en el tiempo. Así es como terminamos con$\gamma^\mu\partial_\mu\psi=-im\psi$. Esta vez, para cerrar soluciones bajo$\psi\mapsto\psi^\ast$tenemos que anexar la transformación$x^\mu\mapsto -x^\mu$, que es más que suficiente para explicar el hallazgo de esta vez funciona. Esta vez no solo tenemos la inversión del tiempo, sino también el equivalente espacial, la inversión de la paridad . $\mathbf{x}\mapsto -\mathbf{x}$.

Analicemos brevemente lo que sucede con las soluciones de onda plana de las tres ecuaciones. Cuando conjugo un$\exp i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t\right)$solución (que es suficiente para el KGE)$\mathbf{k},\,\omega$cambio de signo. Cuando luego invierto el tiempo$\omega$vuelve a su antiguo signo (el requisito de Schrödinger), por lo que el único cambio general es el signo de$\mathbf{k}$. Si aplico una transformación de paridad también al final (Dirac necesita esto), incluso este cambio de signo en$\mathbf{k}$está perdido. ¡Entonces, en realidad, nuestra "simetría" para las soluciones de Dirac no hace nada en absoluto!

La última pregunta es qué tiene que ver todo esto con el espín, los bosones y los fermiones. Los anticonmutadores$\left\{\gamma^\mu,\,\gamma^\nu\right\}=2\eta^{\mu\nu}$en$4$-espacio-tiempo dimensional requiere que las matrices gamma sean al menos$4\times 4$, por lo que el espinor de Dirac$\psi$tiene al menos$4$componentes Dirac se dio cuenta de que las simetrías de las soluciones de la ecuación de Dirac (¡no la "simetría" anterior, algunas propias!) relacionan estos componentes con una combinación de un$2S+1$degeneración de espín y un factor de materia-antimateria de$2$, entonces$4S+2=4$y$S=\frac{1}{2}$. La teoría de Dirac se reivindicó no solo al predecir el positrón, sino también al explicar finalmente el espín como una consecuencia de la relatividad, mientras que antes era solo un hecho empírico que había que agregar a los axiomas de la mecánica cuántica sin razón aparente. Esto sentó las bases para descubrimientos posteriores sobre el espín, como el teorema de la estadística del espín. Por ahora, notaremos que un spin-$\tfrac{1}{2}$Dirac spinor tiene que ser un fermión.

Sus preguntas se responden en detalle en el primer capítulo de este libro: W. Greiner, Relativistic Quantum Mechanics, http://iate.oac.uncor.edu/~manuel/libros/Modern%20Physics/Quantum%20Mechanics/Relativistic%20Quantum %20Mechanics.%20Wave%20Equations,%203rd%20ed.%20-%20W.%20Greiner.pdf

Trata la ecuación de Klein-Gordon (KGE), su interpretación actual y varios temas avanzados relacionados con una profundidad impresionante.

Respuesta corta a la pregunta : Vamos$\rho$Sea la densidad de probabilidad inicialmente asociada al KGE. El KGE se restableció como una ecuación válida para partículas relativistas de espín-0 cuando se dio cuenta de que$e\rho$debe identificarse en cambio como una densidad de carga, mientras que las soluciones de energía negativa corresponden a antipartículas, como para las ecuaciones de Dirac. Esta reinterpretación hizo que el KGE fuera instrumental en la descripción de partículas de espín-0 tanto cargadas como neutras. El capítulo citado proporciona varios ejemplos relacionados con el triplete pion,$\pi^0$,$\pi^±$, y mucho más.