¿Ecuación de Klein-Gordon solo para partículas sin espín?

Mi conjetura total, que espero que otras respuestas puedan corregir es que, si recuerda la ecuación de Schroedinger, se basó en la versión clásica no relativista de la energía. No incorpora giro y no es invariante de Lorentz.

La ecuación de Klein Gordon sí tiene en cuenta SR, usando E$^2$=$p^2c^2 + m^2c^2$, pero puede interpretarse como un campo escalar, produciendo partículas de espín 0, porque se transforma como un campo escalar.

¿Cómo puedo deducir qué tipo de partículas describe una ecuación de onda particular, mirando la ecuación?

La respuesta simplista es: no solo mire, continúe para encontrar una (s) solución (es) y cuando se realice la segunda cuantización, sabrá si tiene un campo vectorial, que produce partículas con espín.

No es cierto que solo gira-$0$especies pueden satisfacer algo que se parece a la ecuación de Klein-Gordon. Por ejemplo, a partir de la ecuación de Dirac podemos demostrar que un espinor de Dirac$\psi$satisface$\square \psi=\pm M^2\psi$(el signo depende de sus convenciones de relatividad), al igual que un campo de Klein-Gordon de espín 0). De hecho, la ecuación de Dirac se soñó por primera vez con la "raíz cuadrada" de la ecuación de Klein-Gordon al obtener un resultado más estricto que, Dirac esperaba, carecería de soluciones de la ecuación de Klein-Gordon que eran físicamente problemáticas. (Una analogía simple es "raíz cuadrada"$\partial_x^2 u = a^2 u$a$\partial_x u = a u$, una ecuación estrictamente más fuerte.) Fue solo cuando Dirac experimentó con los detalles que se dio cuenta de que, entre otras cosas,$\psi$debe tener al menos 4 componentes para que su nueva ecuación funcione en el espacio 4D. Resulta que esto predice el giro del electrón; a$2S+1$-La degeneración de espín doble se duplica para incluir antimateria, por lo que resolvemos$4S+2=4$dar$S=1/2$.

De manera más general, dada una ecuación diferencial en física, se puede deducir de ella una ecuación diferencial de orden superior que tiene todas las mismas soluciones, pero en general también varias otras. Todas las soluciones de Dirac son también soluciones de Klein-Gordon, pero no al revés. Físicamente, estamos interesados ​​en la restricción más exigente que podamos colocar, que tendrá el grado más bajo que podamos reunir. Lo que es especialmente natural acerca de esto es que son las ecuaciones de movimiento del Lagrangiano que usamos para toda la teoría. Por ejemplo, la ecuación de Dirac es una ecuación de movimiento del Lagrangiano de Dirac. La variante "cuadrada" de Klein-Gordon, sin embargo, es solo una consecuencia en lugar de una ecuación de movimiento del mismo Lagrangiano.

Entonces, la verdadera pregunta no es qué espines permiten que un campo satisfaga una ecuación, sino cuáles son consistentes con un Lagrangiano del cual emerge como la restricción aplicable más estricta. Los lagrangianos físicos suelen incorporar múltiples tipos de campos (algunos necesarios por las dificultades con otros), ya sea que incluyamos o no términos de interacción para ellos. Por ejemplo, la teoría del electromagnetismo tiene tanto el spin-$\tfrac{1}{2}$campo de electrones$\psi$y el giro-$1$fotón$A^\mu$(este último puede estar motivado por el deseo de generalizar una invariancia global de campos sin espín a una invariancia local ). Los giros de los bosones se inspeccionan fácilmente; son el número de índices griegos en el campo. (Por ejemplo,$g_{\mu\nu}$es el giro-$2$gravitón.) Por lo general, se puede inferir que los fermiones son$\tfrac{1}{2}$. Hipotéticamente, spin-$\tfrac{3}{2}$las especies obedecerán a un primo de la ecuación de Dirac como este , aunque hay algunos dolores de cabeza teóricos, como la propagación más rápida que la luz. Por suerte, el único spin-$\tfrac{3}{2}$Las partículas no son elementales .