¿Dónde codifican los campos cuánticos la información de espín?

La descomposición del momento que escribiste es válida solo para un campo real escalar (sin espín), que satisface la ecuación de Klein-Gordon.

Al considerar un campo con spin, como un spin-$1/2$campo que satisface la ecuación de Dirac , debe incluir los vectores de polarización , obteniendo algo de la forma

$$\psi_\alpha(x) = \sum_{\textbf{p},s} N_{s,\textbf{p}}[ c_s(\textbf{p}) u_\alpha(s,\textbf{p}) e^{-ipx} + d_s^\dagger(\textbf{p}) v_\alpha(s,\textbf{p}) e^{ipx} ]$$ $$\bar \psi_\alpha(x) = \sum_{\textbf{p},s} N_{s,\textbf{p}}[ c_s^\dagger(\textbf{p}) \bar u_\alpha(s,\textbf{p}) e^{ipx} + d_s(\textbf{p}) \bar v_\alpha(s,\textbf{p}) e^{-ipx} ]$$ dónde $c,c^\dagger$y $d,d^\dagger$son respectivamente operadores de aniquilación/creación de partículas y antipartículas correspondientes, $u,v$son los vectores de polarización, que codifican la información sobre el espín, y $N_{s,\textbf{p}}$factores de normalización dependiendo de la convención utilizada. La suma se extiende sobre todo el impulso ( $\textbf{p}$) y girar ( $s$) estados propios. Los objetos que denoté con $ue^{-ipx}$y $ve^{ipx}$se llaman espinores de Dirac . Tienen cuatro componentes , lo que refleja el hecho de que un campo de Dirac describe tanto al electrón como al positrón, cada uno con 2 grados de libertad de espín (para un total de $2+2=4$grados de libertad).

En otras palabras, la información de espín está codificada en los grados de libertad adicionales del campo , en este caso el índice de espín que denoté con$\alpha$. Estos grados de libertad adicionales no evolucionan de forma independiente, como se puede ver en la ecuación (libre) de Dirac, que muestra explícitamente los índices de espinor:

$$( i \gamma^\mu_{\alpha\beta} \partial_\mu - m \delta_{\alpha\beta})\psi_\beta(x) = 0, \quad \forall \alpha=1,2,3,4,$$ dónde $\gamma^\mu$son las matrices gamma y una suma sobre el índice de espín $\beta$está implícito.

Para otro ejemplo, puede mirar los campos de espín-1 (por ejemplo, fotones ). En este caso, el campo cuántico se denota por$A_\mu(x)$con$\mu$un índice vectorial, que es el índice de espín para los campos de espín-1. La descomposición tiene ahora la forma:

$$A_\mu(x) = \sum_{\textbf{p},s} N_{s,\textbf{p}} [ a(s,\textbf{p}) \varepsilon_\mu(s,\textbf{p}) e^{-ipx} + a^\dagger(s,\textbf{p}) \varepsilon_\mu^*(s,\textbf{p}) e^{ipx} ].$$ De nuevo, $s$denota los estados de espín (que generalmente se denominan estados de polarización en este contexto), y $\varepsilon$son los vectores de polarización.

Finalmente, tenga en cuenta que cada componente de espín del campo de Dirac satisfizo la ecuación de Klein-Gordon:

$$(\square + m^2)\psi_\alpha(x) = 0, \forall \alpha$$ Una excelente explicación de esto se puede encontrar aquí .

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