Solución separable más general de la ecuación libre de Dirac

El operador de Dirac$H=-\alpha\cdot i\nabla+\beta m$es autoadjunto en$L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}^4)$. Por lo tanto, puede escribir una solución general como$\psi(t,x)=e^{-itH}\psi_0$,$\psi_0\in L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}^4)$.

El problema con soluciones explícitas del "tipo vector propio" (para una energía$E$) es que no pueden pertenecer a la$L^2$espacio, pues el espectro del operador es continuo. Mientras que la ecuación de valor propio (en un espacio adecuado que no es $L^2$) es fácil de resolver explícitamente para el laplaciano y da las ondas planas habituales, es más complicado para el operador de Dirac, por lo que los físicos hacen la suposición que escribiste.

Sin embargo, la solución más general en el espacio físico relevante$L^2$, como dije anteriormente, está perfectamente bien definido matemáticamente para ser$e^{-itH}\psi_0$, dado$\psi_0\in L^2$. (no es tan explícito, obviamente, pero seguramente bien definido)