¿Por qué GTR no necesita una dimensión más alta para describir la flexión del espacio-tiempo?

Primero, la curvatura intrínseca y la curvatura extrínseca no son lo mismo. Cuando dobla una hoja de papel, por ejemplo, en un cilindro, gana curvatura extrínseca, pero la geometría del papel no cambia (ángulos en un triángulo, circunferencia de un círculo, etc.) por lo que no gana curvatura intrínseca.

Puede ser posible incrustar matemáticamente el espacio-tiempo en dimensiones superiores. Se necesitan al menos seis dimensiones, incluidas dos dimensiones de tiempo, incluso para casos simples para los que tenemos soluciones, pero se podrían necesitar muchas más dimensiones para las soluciones más generales. Esto sería tanto conceptual como matemáticamente difícil (¡la mayoría de la gente piensa que las matemáticas de gtr ya son lo suficientemente difíciles!), Y físicamente no está justificado porque no hay otras dimensiones en las que se pueda doblar el espacio-tiempo.

La curvatura intrínseca no es difícil de entender (al menos conceptualmente), y no necesita el concepto de curvatura en dimensiones superiores. Se puede entender de la misma manera que ves la curvatura de la Tierra en un mapa plano, a través de distorsiones de escala local del mapa. Aquí hay un mapa de un universo con curvatura positiva. La galaxia central no está distorsionada, pero se ve una mayor distorsión más lejos del centro (los diagramas de Estructuras del cielo dan más explicaciones, sin matemáticas, en The Large and the Small )

Puede "deshacer" las distorsiones de escala en este mapa mapeándolo en una esfera, mostrando que el mapa sería el mismo independientemente de la galaxia que elija como centro.

Tenga en cuenta que la esfera no tiene ningún significado físico. Es solo una forma de dibujar un mapa. También podemos dibujar mapas de espacio-tiempo en expansión, como este. Las galaxias no se hacen más grandes, pero las distancias entre ellas se hacen más grandes.

Se pueden utilizar otros mapas. Este es exactamente equivalente, pero en lugar de que el universo parezca expandirse, las galaxias parecen volverse más pequeñas.

Las preguntas que GR quiere responder están todas conectadas a mediciones que puedes hacer en el espacio-tiempo. Todo lo que puedes hacer es medir distancias, ángulos y el tiempo transcurrido. Si no puede medir la distancia a través de la cuarta dimensión espacial, entonces no le importa cómo está incrustado exactamente nuestro espacio-tiempo en este espacio-tiempo de dimensión superior. Todo lo que necesitas saber son las distancias, los ángulos y el tiempo transcurrido. Todos estos están definidos estrictamente en nuestro espacio-tiempo de 4 dimensiones.

Mira esta imagen:

El conejito está compuesto por un montón de puntos y líneas que conectan puntos vecinos, lo que crea triángulos. Cada triángulo te dice cuáles son las distancias y los ángulos entre los puntos vecinos. De hecho, el conocimiento de la longitud de cada línea en la imagen es suficiente para responder todas las preguntas sobre geometría que algunos físicos 2D que viven en este conejito podrían esperar preguntar (por supuesto, en realidad debería haber una cantidad infinita de triángulos infinitamente pequeños). Y nuestro físico no necesita preocuparse por la tercera dimensión, solo necesita conocer las distancias en su espacio 2D.

La pregunta entonces es sólo cómo codificar este conocimiento lo mejor posible. A los matemáticos se les ocurrieron dos máquinas muy importantes para eso: la métrica y el tensor de curvatura de Riemann, que se puede calcular a partir de la métrica.

En su primer ejemplo, cuando está doblando una hoja de papel, pregúntese qué cambios impone el doblez en las medidas restringidas a la hoja misma. Si lo conviertes en triángulos, los ángulos siguen siendo los mismos y las distancias también. Por lo tanto, la curva que mostró en realidad no curva la geometría del papel en absoluto. Acaba de crear una curvatura extrínseca, pero esta curvatura es inaccesible desde el papel. Alguien que vive en el papel cree que sigue tan plano como siempre.

Luego podría estirar el papel y esto ciertamente cambiaría los triángulos dibujados. Pero esto aún no curvaría la geometría. El papel estirado, es tan plano como el no estirado. Los triángulos cambiaron, pero siguen obedeciendo a la geometría euclidiana. Simplemente puede ver su deformación como un simple redibujado de triángulos (ignoremos las propiedades globales por un momento y concentrémonos solo en un pequeño vecindario de algún punto del papel) Cuando dibuje un círculo, su circunferencia será$2\pi r$, dónde$r$es radio.

Solo una vez que deforme el papel de tal manera que las fórmulas geométricas de la escuela secundaria fallen, creará una curvatura intrínseca. Tomemos por ejemplo una esfera:

De repente, la circunferencia del círculo azul no es$2\pi r$. Es$2 \pi a$, pero el físico que vive en la esfera no puede medir esto$a$. Él piensa$r$es el radio y así se dará cuenta de que algo sospechoso está pasando. La geometría es rara. El espacio por lo tanto debe ser curvo.

En el fondo, se trata simplemente de la geometría que está utilizando.

En el plano euclidiano, los ángulos de un triángulo siempre suman 180 grados. Pero dibuja un triángulo en una esfera y suman más. Por ejemplo, un triángulo dibujado desde el Polo Norte, alrededor del ecuador un poco y de regreso al polo nuevamente tiene dos ángulos de 90 grados cada uno, por lo que el ángulo polar representa el exceso angular.

La clave es que no necesitas un globo tridimensional. Un flatlander que notó que los ángulos se hacían más grandes cuanto más grande era el triángulo, desarrollaría una geometría esférica (o elíptica) de todos modos. Decimos que la geometría euclidiana es intrínsecamente plana pero que la geometría esférica es intrínsecamente curva.

Distorsiones análogas en el espacio-tiempo de Minkowski nos llevan a darnos cuenta de que también debe ser curvo.