¿Por qué exactamente la distribución Husimi-Q no es una distribución de probabilidad real?

No estoy seguro de que "problema" sea la palabra correcta. ¿Característica? Las distribuciones de cuasiprobabilidad simplemente tratan con puntos en el espacio de fase que no son mutuamente excluyentes, por lo que no puede agregar sus probabilidades como lo haría a través de la tercera de Kolmogorov , es decir, σ-aditividad . Grandes palabras que indican que no solo agregas la probabilidad de estar en (x,p) , a la de estar en (x',p') , a la de estar en (x'',p'') , etc. porque estás aquí o allá o más abajo, para obtener probabilidades arbitrarias de ubicación del espacio de fase. Por lo general, una distribución de probabilidad real simple podría ser dos picos estrechos uno cerca del otro, la suma de las probabilidades de dos alternativas disjuntas.

Sin embargo, no es así para las distribuciones de cuasiprobabilidad. ¡Nunca pueden ser los picos cercanos de arriba! Si usted es$\hbar$-cerca de otro punto, realmente no sabes que estás en ese punto o dónde pensabas que estabas. Es decir, su distribución de "ubicación" está restringida por el principio de incertidumbre.

Para la distribución de Wigner,$W(x,p)$(tómelo centrado en el origen para que$\langle \mathfrak{x}\rangle=\langle \mathfrak{p}\rangle=0$), esto significa que su probabilidad de ubicación en (x,p) también conoce eso en (x',p') e influye (restringe) su valor, ya que el principio de incertidumbre dicta

$$\langle \mathfrak{x}^2\rangle \langle \mathfrak{p}^2\rangle= \left(\int dx dp~ x^2 W\right )\left(\int dx'dp' ~ p'^2 W\right) \geq \hbar^2/4~,$$ no importa qué Para la prueba directa del HUP en este entorno peculiar, véase, por ejemplo, este documento .

Físicamente, esto está bien, ¡una característica!, ya que es posible que no mida su ubicación con más de$\hbar$precisión, y así, por supuesto, W "sabe" cómo restringir sus valores colectivos en el$\hbar$-microescala. (Por lo tanto, puede ver cómo los dos picos anteriores, por ejemplo, en el eje p , no pueden estar demasiado cerca en x , ya que la pequeña extensión p restringe la extensión x desde abajo).

En la práctica, W puede volverse negativo a escalas tan pequeñas, asegurando al mismo tiempo por tales restricciones que las regiones negativas sean más pequeñas que este ámbito y nunca produzcan valores negativos o incluso demasiado pequeños para$\langle \mathfrak{x}^2\rangle \langle \mathfrak{p}^2\rangle$.

Habiendo dicho todo eso, al final del día haces con W lo que haces con las distribuciones de probabilidad reales, es decir, tomas los valores esperados integrando la transformada de Wigner de tu operador en el espacio de fase con W como medida, ¡y es probable que sean correctos!

$$\langle { {\mathfrak G}} \rangle =\int\! dx dp~ W~ g(x,p).$$

La distribución de Husimi Q ,

$$Q(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int dx' dp' \exp \left( -{(x'-x)^2+(p'-p)^2 \over \hbar} \right) W(x',p')$$ es la transformada de Weierstrass lineal invertible de la W . Se puede demostrar que nunca se vuelve negativo, lo que parece significativo, pero es en gran medida irrelevante. (Usted puede convencerse de que, un Gaussiano $W=\exp\bigl(-(ax^2 +bp^2)/\hbar\bigr)$Weirstrass-se transforma en uno más amplio, $Q=\exp\bigl(-(ax^2/(1+a) +bp^2/(1+b))/\hbar\bigr) /\sqrt{(1+a)(1+b)}$.)

Produce los mismos valores esperados que el anterior; pero debe plegar la transformada de Weirstrass en la transformada de Wigner del operador, para convertirla en una transformada de operador Husimi,$g_H$,

$$\langle {{\mathfrak G}}\rangle = \int\! dx dp~ g(x,p)~ \exp\!\left(-{\hbar\over 4}(\partial_x^2+\partial_p^2 ) \right) ~Q = \int\! dx dp~ g_{_H} ~ e^{\hbar (\overleftarrow {\partial }_x \overrightarrow{\partial }_x + \overleftarrow {\partial }_p \overrightarrow{\partial }_p )/2 } ~Q.$$

Es decir, como se enfatiza en el penúltimo párrafo de su pregunta vinculada, hay un operador adicional intercalado en la integral, lo que evita la interpretación de probabilidad ingenua de la Q semidefinida positiva .

Pero, más allá de eso, Q también está muy limitado por el principio de incertidumbre. Usando lo anterior, encuentre

$$\langle \mathfrak{x}^2\rangle \langle \mathfrak{p}^2\rangle \\ = \left(\int dx dp~ x^2\exp\!\left(-{\hbar\over 4}(\partial_x^2+\partial_p^2 ) \right) Q\right )\left(\int dx'dp' ~ p'^2\exp\!\left(-{\hbar\over 4}(\partial_x'^2+\partial_p'^2 ) \right) Q\right) \\ \geq \hbar^2/4~.$$ Es cierto que esto es mucho menos transparente que el caso de restricción W anterior, pero también es una restricción a priori igualmente poderosa en la forma de Q , lo que plantea cualquier interpretación posible como una distribución de probabilidad aditiva de buena fe.

La semidefinición positiva es el menor de los problemas de las distribuciones de cuasiprobabilidad.