¿Por qué los estados coherentes tienen distribución de números de Poisson?

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$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle}\newcommand{\Ket}[1]{\left| #1 \right>} %$Porque puede usar divisores de haz para dividir un estado coherente en un producto tensorial de muchos estados coherentes independientes de bajo número de fotones.

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Si tu envías$\ket{\alpha}$en un divisor de haz de coeficiente de transmisión$t$y coeficiente de reflexión$r$(con$|r|^2+|t|^2=1$), se obtiene el producto de dos estados coherentes independientes$\ket{t\alpha}\otimes\ket{r\alpha}$. Esta propiedad caracteriza a los estados coherentes, ya que cualquier otro estado de entrada conduce a un enredo en la salida del divisor de haz.

Dado que el estado de salida es un estado de producto, las estadísticas de cualquier medición realizada en una salida son independientes de las de una medición realizada en la otra salida. Además, dado que el divisor de haz es un componente pasivo, el número total de fotones del estado de entrada$\ket{\alpha}$es la suma del número de fotones en las salidas.

Ahora, también puede agregar divisores de haz en las salidas y construir un árbol de divisores de haz, con$N\gg|\alpha|^2$salidas balanceadas, transformando el estado coherente de entrada$\ket{α}$en el producto de$N$estados coherentes$\Ket{\tfrac{\alpha}{\sqrt{N}}}^{\otimes N}$. Como antes, el número total de fotones se conserva, por lo que las estadísticas del número de fotones de$\ket α$es la suma de los$N$salidas independientes, cada una con un pequeño número de fotones promedio$\tfrac{|\alpha|^2}{N}$. Cuándo$N \to \infty$, la única distribución que tiene esta propiedad es la distribución de Poisson. QED.

Enlace con independencia de eventos de detección sucesivos

Tenga en cuenta que, en el razonamiento anterior, los divisores de haz no necesitan ser haces de división de objetos reales. Cualquier cosa que cambie la base de los modos de espacio-tiempo hace el trabajo. En particular, deja que tu estado coherente esté en el modo correspondiente a un pulso de luz. También puede "cortar" el pulso en$N$segmentos de tiempo corto. Esta descripción es exactamente equivalente al divisor de haz anterior y corresponde a la intuición formulada por @AccidentalFourierTransform y @ThomasS anteriormente sobre la independencia de los eventos de detección de fotones sucesivos.

En todas las descripciones anteriores, he asumido implícitamente que el otro puerto de cada divisor de haz está vacío, es decir, recibe el estado de vacío.$\ket0$. Esta suposición crucial todavía está presente arriba cuando "corte" el estado coherente en muchos cortes de tiempo, el inicial$N-1$vacua estando en modos de espacio-tiempo, que son ortogonales al pulso de luz original.

Si bien la respuesta aceptada ya responde muy bien la pregunta, creo que puede ser bueno ver más explícitamente cómo es exactamente que obtenemos los coeficientes (y, por lo tanto, las estadísticas de Poisson) de un estado coherente$\lvert\alpha\rangle$del solo requisito de que, tras una evolución unitaria$\mathcal U$, el estado de salida$\mathcal U\lvert\alpha\rangle$se factoriza sobre los diferentes modos:

$$\mathcal U\lvert\alpha\rangle=\bigotimes_k\lvert\psi_k\rangle.$$ Consideremos un estado monomodo inicial genérico$\lvert\psi\rangle$, con coeficientes $$\lvert\psi\rangle=\sum_{k=0}^\infty \frac{c_k}{\sqrt{k!}}\lvert k\rangle = \sum_{k=0}^\infty \frac{c_k}{k!}a^{\dagger k}\lvert 0\rangle.$$ Tenga en cuenta que la elección de$c_k/\sqrt{k!}$como coeficientes (en lugar de un más simple$c_k$) es puramente convencional (pero luego resultará más fácil para los cálculos). Consideremos una evolución unitaria que divide el estado en dos modos diferentes de la siguiente manera $$a^\dagger\to r a_1^\dagger + t a_2^\dagger.$$ Podríamos considerar el caso más general de una división en$N>2$modos, pero esto resultará no ser necesario.

Sobre esta evolución unitaria, el estado$\lvert\psi\rangle$evoluciona a:

$$\lvert\psi\rangle\to\sum_{k=0}^\infty \frac{c_k}{k!}(ra_1^\dagger+ta_2^\dagger)^k\lvert0\rangle = \sum_{k=0}^\infty c_k\sum_{l=0}^k\frac{(ra_1^\dagger)^l}{l!}\frac{(ta_2^\dagger)^{k-l}}{(k-l)!}\lvert0\rangle,\tag1$$ donde usamos la fórmula binomial para expandir la$k$-ésima potencia de una suma de dos términos. Preguntemos ahora cuáles son los términos de esta suma que contienen el$n$-ésima potencia de$a_1^\dagger$. Se ve fácilmente que la respuesta es $$\frac{(ra_1^\dagger)^n}{n!}\sum_{k=n}^\infty c_k\frac{(ta_2^\dagger)^{k-n}}{(k-n)!}=\frac{(ra_1^\dagger)^n}{n!}\sum_{m=0}^\infty c_{m+n}\frac{(ta_2^\dagger)^m}{m!}.$$ En otras palabras, si reordenamos los términos de (1) para hacer los coeficientes de las potencias de$a_1^\dagger$explícito, podemos reescribir el estado final de la siguiente manera ( 1 ) $$\lvert\psi\rangle\to\mathcal U\lvert\psi\rangle= \sum_{n=0}^\infty \frac{(ra_1^\dagger)^n}{n!} \sum_{m=0}^\infty c_{n+m}\frac{(ta_2^\dagger)^m}{m!}\lvert0\rangle.$$ Sorprendentemente, esto nos dice que el estado de salida$\mathcal U\lvert\psi\rangle$es separable si y solo si los coeficientes satisfacen$c_{n+m}=c_n c_m$, es decir, si$c_n=\alpha^n$para algunos$\alpha\in\mathbb C$. Como beneficio adicional, vemos que cuando este es el caso, el estado de salida sigue siendo un producto de estados coherentes en los diferentes modos.

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(1) Más precisamente, la esencia del argumento es la siguiente igualdad

$$\sum_{s=0}^\infty c_s(a+b)^s=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}\sum_{m=0}^\infty c_{n+m}(n+m)!\frac{b^m}{m!}.$$

1. De las propiedades del operador de destrucción

Entonces, primero tienes que aceptar que$a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle$. Esto es relativamente fácil de ver porque el elemento de la matriz para la absorción de un fotón por un sistema de dos niveles (átomo que pasa del estado fundamental al estado excitado) es proporcional a$\langle n-1|a|n\rangle$y esto debe ser proporcional a la raíz cuadrada del número de fotones en el modo de luz porque la probabilidad de absorción debe ser proporcional a la intensidad de la luz. Así que necesitas algo como$a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle$(ignorando un posible factor de fase).

Luego, cuando expandes el estado coherente en estados numéricos,$|\alpha\rangle = \sum_n c_n |n\rangle$y poner esto en$a|n\rangle = \alpha|n\rangle$, ves que necesitas$c_n\sqrt{n}=\alpha c_{n-1}$. El resultado al bajar$c_n|n\rangle$con$a$debe ser lo mismo que una multiplicación de$|n-1\rangle$con$\alpha$. Como consecuencia,$c_n =(\alpha/\sqrt{n})c_{n-1}$y estás acabado. Iterando esto$n$rendimientos de veces$c_n = (\alpha^n/\sqrt{n!})c_0$. La normalización da el valor de$c_0$y luego tienes$\langle n|\alpha\rangle=c_n$. Ahora eleva todo al cuadrado y obtienes la distribución de Poisson.

Así que el punto es que para grandes$n$,$\alpha/\sqrt{n}$siempre será menor que 1. Por eso la distribución de Poisson decrece en este caso. Para pequeños$n$, ocurre lo contrario y la distribución de Poisson aumenta.

2. Estado coherente en el espacio de fase

Hay una imagen alternativa. Usted sabe que un campo monomodo es como un oscilador armónico donde los operadores de cuadratura del modo juegan el papel de posición y momento del HO. Ahora bien, un estado coherente es un paquete de ondas que oscila en el potencial parabólico sin cambiar su forma. No hay dispersión para este paquete de ondas, es coherente (de aquí proviene el nombre de estado coherente). Los estados propios de energía del HO (que corresponden a los estados numéricos del modo de campo) son estáticos, no se mueven. Entonces, para construir un estado coherente, necesitas usar una superposición de estados numéricos. Y la ponderación de los estados numéricos en la superposición es el cuadrado de las probabilidades de la distribución de Poisson.

Esta tampoco es una explicación física intuitiva, pero arroja un poco más de luz sobre el problema.

3. Eventos de emisión independientes y de estado coherente

Otra posibilidad de obtener una comprensión física es la independencia de los eventos de "emisión". A partir de esto, la distribución de Poisson se entiende fácilmente. Lo que no veo es la conexión entre el estado coherente$|\alpha\rangle$y el concepto de emisiones estadísticamente independientes. Creo que es incluso contrario a la intuición. En el láser, los eventos de emisión inducida (junto con el resonador) crean el estado coherente. Los eventos de emisión espontánea estadísticamente independientes perturban el estado coherente (fluctuaciones de fase en el láser).

¿Quién puede ayudar?

La distribución de Poisson se deriva estadísticamente de una entrada de ocurrencias aleatorias,

expresa la probabilidad de que ocurra un número dado de eventos en un intervalo fijo de tiempo y/o espacio si estos eventos ocurren con una tasa promedio conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento. 1 La distribución de Poisson también se puede utilizar para el número de eventos en otros intervalos específicos, como la distancia, el área o el volumen.

La distribución de Poisson es un modelo apropiado si las siguientes suposiciones son verdaderas.

K es el número de veces que ocurre un evento en un intervalo y K puede tomar los valores 0, 1, 2,…

Compruebe si hay fotones.

La ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de que ocurra un segundo evento. Es decir, los eventos ocurren de forma independiente.

Verifique, no hay interacción fotón-fotón, solo superposición.

La velocidad a la que ocurren los eventos es constante. La tasa no puede ser mayor en algunos intervalos y menor en otros intervalos.

¿Controlar?

Dos eventos no pueden ocurrir exactamente en el mismo instante.

Mira, es la incertidumbre de Heisenberg aquí.

La probabilidad de un evento en un intervalo es proporcional a la longitud del intervalo.

¿Controlar?

Si estas condiciones son verdaderas, entonces K es una variable aleatoria de Poisson y la distribución de K es una distribución de Poisson.

Tengo signos de interrogación donde no sé qué es un QHO.

Si se verifica, entonces esa es la razón por la que se usa Poisson. Hay dos ejemplos de fotones en la lista de ocurrencias .

Físicamente, la energía gastada para crear fotones es mucho menor que la energía transferida en las colisiones de partículas cargadas. En la aproximación de orden cero, se puede despreciar la influencia de la energía perdida en la dispersión de las partículas y luego se conoce el comportamiento de las partículas en todo momento. A menudo se le conoce como una "corriente clásica".$j(t)$. Por otro lado, la ecuación de radiación en esta aproximación es, en términos generales, lineal en la corriente conocida$j$:$\square A =j$y también lo son los componentes de Fourier correspondientes. Para ser exactos, uno tiene que resolver las ecuaciones QED en esta aproximación, vea la fórmula (24.27) en el libro de texto de Akhiezer-Berestetski:

En esta aproximación, la solución de campo para cada armónico es un estado propio del operador de reducción$a_{\omega}$. Simplemente significa dos cosas: 1) los fotones emitidos no se obstaculizan/favorecen entre sí mientras se emiten, y 2) siempre hay suficiente energía para crear cualquier cantidad de fotones. En otras palabras, la emisión de un fotón no influye en la emisión de otro al mismo tiempo o en cualquier otro momento. Su emisión es aleatoria. Ahora entran en juego las estadísticas del número de fotones emitidos aleatoriamente y se obtiene la distribución de Poisson.

Tan pronto como fija o limita desde arriba la energía emitida, la distribución de Poisson se estropea, especialmente para frecuencias altas y números de fotones altos.