Evaluar ∫sin3(θ/2)cos(θ/2)cos3θ+cos2θ+cosθ√dθ∫sin3⁡(θ/2)cos⁡(θ/2)cos3⁡θ+cos2⁡θ+cos⁡θdθ\int \ frac{\sin ^3(\theta/2)}{\cos(\theta/2)\sqrt{\cos^3\theta+\cos^2\theta+\cos \theta}}d\theta

Encontré el siguiente problema de práctica en un libro de integración:

q . Evaluar

I = ∫ pecado 3 ⁡ ( θ / 2 ) porque ⁡ ( θ / 2 ) porque 3 ⁡ θ + porque 2 ⁡ θ + porque ⁡ θ d θ
Para hacer esto, primero sustituí porque ⁡ ( θ / 2 ) = tu ⟹ − 1 2 pecado ⁡ ( θ 2 )   d θ = d tu ⟹ pecado 3 ⁡ ( θ 2 ) d θ = − 2 ( 1 − tu 2 )   d tu . Esto da
I = ∫ 2 ( tu 2 − 1 )   d tu tu ( 2 tu 2 − 1 ) 3 + ( 2 tu 2 − 1 ) 2 + ( 2 tu 2 − 1 ) = 1 2 ∫ ( tu 2 − 1 ) ( 4 tu   d tu ) tu 2 ( 2 tu 2 − 1 ) 3 + ( 2 tu 2 − 1 ) 2 + ( 2 tu 2 − 1 )
Ahora sustituye z = 2 tu 2 − 1 ⟹ d z = 4 tu   d tu . Tenemos tu 2 = z + 1 2 ⟹ tu 2 − 1 = z − 1 2 . Por eso
I = ∫ z − 1 2   d z ( z + 1 2 ) z 3 + z 2 + z = ∫ ( z − 1 )   d z ( z + 1 ) z 3 + z 2 + z = ∫ [ 1 z 3 + z 2 + z − 2 ( z + 1 ) z 3 + z 2 + z ]   d z
No sé cómo seguir adelante. Algunos consejos serían apreciados. ¿Hay alguna manera más fácil de integrar la expresión dada? También probé reemplazando broncearse ⁡ ( θ / 2 ) = tu , pero se vuelve aún más complicado de lo que he mostrado aquí.

Solo por curiosidad como se llama el libro
Tengo la misma solicitud: ¿cuál es el libro que alberga tal monstruo? Estoy casi seguro de que las funciones elípticas están en la solución.
No es un libro estándar que encontraría en las tiendas, es un libro de práctica del instituto.
Mathematica 10.2 da una respuesta en términos de integral elíptica.

Respuestas (1)

Dejar

I = ∫ pecado 3 ⁡ ( θ / 2 ) porque ⁡ ( θ / 2 ) porque 3 ⁡ θ + porque 2 ⁡ θ + porque ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 2 pecado 2 ⁡ θ 2 ⋅ 2 pecado ⁡ θ 2 ⋅ porque ⁡ θ 2 2 porque 2 ⁡ θ 2 porque 3 ⁡ θ + porque 2 ⁡ θ + porque ⁡ θ d θ

Entonces obtenemos

I = 1 2 ∫ ( 1 − porque ⁡ θ ) ⋅ pecado ⁡ θ ( 1 + porque ⁡ θ ) porque 3 ⁡ θ + porque 2 ⁡ θ + porque ⁡ θ d θ

Ahora pon porque ⁡ θ = t , Entonces pecado ⁡ θ d θ = − d t

Tan Integral

I = − 1 2 ∫ ( 1 − t ) ( 1 + t ) t 3 + t 2 + t d t = − 1 2 ∫ ( 1 − t 2 ) ( 1 + t ) 2 t 3 + t 2 + t d t

Entonces obtenemos

I = 1 2 ∫ ( 1 − 1 t 2 ) ( t + 1 t + 2 ) t + 1 t + 1 d t

Ahora deja ( t + 1 t + 1 ) = tu 2 , Entonces ( 1 − 1 t 2 ) d t = 2 tu d tu

Tan Integral

I = 1 2 ∫ 2 tu tu 2 + 1 ⋅ 1 tu d tu = broncearse − 1 ⁡ ( tu ) + C

Entonces obtenemos

I = broncearse − 1 ⁡ ( t + 1 t + 1 ) + C

Entonces obtenemos

I = broncearse − 1 ⁡ ( porque ⁡ θ + segundo ⁡ θ + 1 ) + C

¡Esto es pura belleza! Felicitaciones y gracias!
en realidad he escrito − ( 1 − t 2 ) = ( t 2 − 1 )
Ya veo, encontraste mi integral z mucho más rápido. Muy buena solución y gracias ..
Buena solución. Por cierto, @AbhishekBakshi, la mayoría de estas integrales se encuentran al encontrar el coeficiente diferencial en la expresión :-) ¡que se muestra maravillosamente arriba!
Ya veo, gracias por el consejo..
Evaluar ∫sin3(θ/2)cos(θ/2)cos3θ+cos2θ+cosθ√dθ∫sin3⁡(θ/2)cos⁡(θ/2)cos3⁡θ+cos2⁡θ+cos⁡θdθ\int \ frac{\sin ^3(\theta/2)}{\cos(\theta/2)\sqrt{\cos^3\theta+\cos^2\theta+\cos \theta}}d\theta
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v