¿Por qué esta multiplicación de variables de Grassmann no da el resultado esperado?

¿Alguien podría decirme cómo va srednicki del paso ( 44.29 ) a ( 44.30 ) ?

Aquí está el párrafo:

Ahora introduzcamos la noción de variables complejas de Grassmann a través de

(44.28) x = 1 2 ( ψ 1 + i ψ 2 ) , x ¯ = 1 2 ( ψ 1 − i ψ 2 ) .
Podemos invertir esto para obtener
(44.29) [ ψ 1 ψ 2 ] = 1 2 [ 1 1 i − i ] [ x ¯ x ] .
El determinante de esta matriz de transformación es − i , y entonces
(44.30) d 2 ψ = d ψ 2 d ψ 1 = ( − i ) − 1 d x d x ¯ .
También, ψ 1 ψ 2 = − i x ¯ x .

Cuando calculo la matriz dada por ( 44.29 ) Lo entiendo

ψ 1 = 1 2 ( x ¯ + x ) ,
ψ 2 = 1 2 i ( x ¯ − x ) .

Por lo tanto entiendo eso

ψ 1 ψ 2 = 1 2 i ( x ¯ 2 − x 2 )
y una forma similar para el producto de los derivados... ¿Qué me estoy perdiendo, aparte de un cerebro en pleno funcionamiento?

Si bien no sé realmente qué son los números de Grassman, sí sé que son anticonmutación. Así que ten cuidado al expandir ( x ¯ + x ) ( x ¯ − x ) .

Respuestas (2)

Es más o menos lo que decía Javier Badia en los comentarios: los números de Grassmann son anticonmutación.

(1) x 1 x 2 = − x 2 x 1

o en este caso, x x ¯ = − x ¯ x . Tenga en cuenta que esto implica que el cuadrado de cualquier número de Grassman es cero, si establece x 1 = x 2 = x en la ecuación (1). Usando estas propiedades y algo de álgebra muy cuidadosa, puedes demostrar que

( x ¯ + x ) ( x ¯ − x ) = − 2 x ¯ x

Cuando se trata de los diferenciales, aún puede usar d ( x 1 + x 2 ) = d x 1 + d x 2 , porque eso no depende de la multiplicación. Luego, el mismo álgebra cuidadosa debería llevarlo a la ecuación (44.30).

Lo que te falta es que estás calculando el jacobiano, no simplemente multiplicando d ψ por d ψ ¯ . El determinante también va hacia abajo en lugar de hacia arriba, porque así es como ruedan los números de Grassmann.

Ver http://en.m.wikipedia.org/wiki/Berezin_integral para más detalles.

Agregaría más, pero escribir en mi teléfono es un asesinato.
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