Integral de Gauss sobre variables de Grassmann

Necesito evaluar dos integrales de Grassmann, una sobre la variable "real" de Grassmann y otra sobre variables complejas.

Comencemos con el real primero:

El prototipo que tenemos para norte variables Grassmann reales:

(1) ∫ d norte ψ Exp ⁡ [ 1 2 ψ T METRO ψ ]   =   ( det METRO ) 1 / 2 .

Ahora podemos cambiar la variable de integración y usar la invariancia de cambio de la integración. si reemplazamos

(2) ψ → ψ − METRO − 1 η ,
entonces el argumento dentro de exponencial se convierte en:

[ 1 2 ψ T METRO ψ ]   ⟶   1 2 ( ψ − METRO − 1 η ) T METRO ( ψ − METRO − 1 η )
= 1 2 [ ψ T METRO ψ + η T ( METRO − 1 ) T METRO METRO − 1 η   − η T ( METRO − 1 ) T METRO ψ − ψ T METRO METRO − 1 η ⏟ ]

(3) = 1 2 ψ T METRO ψ + 1 2 η T ( METRO − 1 ) T METRO METRO − 1 η ⏟ mi X t r a + η T ψ .

Este término "extra" debería desaparecer, pero ¿cómo? Me encontraré con el mismo problema al hacer la misma integral gaussiana sobre variables complejas de Grassmann.

Solo expande ψ T METRO ψ en términos de los elementos de la matriz, y utilizar las fórmulas de integración Grassman. El Determinante debe provenir de las permutaciones de los elementos de la matriz que pueden escribirse en términos del símbolo levi-civita.

Respuestas (1)

Tenga en cuenta que en la ecuación de OP. (1) se supone implícitamente que la matriz METRO es antisimétrico

(A) METRO T   =   − METRO .

[Una parte simétrica en la ec. (1) no contribuiría al integrando (1).] El término η T METRO − 1 η en la ec. (3) en general no desaparece

2 S ( ψ )   :=   ( ψ − METRO − 1 η ) T METRO ( ψ − METRO − 1 η )   = ( A )   ( ψ T + η T METRO − 1 ) METRO ( ψ − METRO − 1 η )
(B)   =   ψ T METRO ψ + η T ψ − ψ T η − η T METRO − 1 η .

Se puede comprobar que si variamos la acción desplazada (B) wrt. la variable de integración ψ , como era de esperar obtenemos el valor clásico

(C) ψ   ≈   METRO − 1 η ,
que reflejan el turno (2) que OP realizó en primer lugar. Como verificación, tenga en cuenta que la acción clásica se desvanece.
(D) S ( ψ = METRO − 1 η )   = ( B )   0 ,
como debería.

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