Derivada con respecto a un espinor del lagrangiano libre de Dirac

Cuando derivamos la ecuación de Dirac a partir del lagrangiano, nuestro profesor de QFT dijo:

"Tomemos el lagrangiano libre

L = i Ψ ¯ γ m ∂ m Ψ − metro Ψ ¯ Ψ
y realizar
∂ L ∂ ( ∂ m Ψ ) = ∂ ( i Ψ ¯ γ m ∂ m Ψ ) ∂ ( ∂ m Ψ ) = − i Ψ ¯ γ m ,
donde el signo menos adicional proviene del hecho de que cuando realizamos la derivada con respecto a ∂ m Ψ nosotros 'pasamos' Ψ ¯ y el intercambio de dos espinores dan lugar a un signo menos".

Esto no cambia nada al calcular la ecuación de Dirac, pero cuando traté de calcular el tensor de energía de tensión T m v Obtuve (estoy usando η m v = d i a gramo ( + 1 , − 1 , − 1 , − 1 ))

T m v = ∂ L ∂ ( ∂ m Ψ ) ∂ v Ψ + ∂ L ∂ ( ∂ m Ψ ¯ ) ∂ v Ψ ¯ − η m v L = − i Ψ ¯ γ m ∂ v Ψ
ya que el lagrangiano es cero en la capa.

Ahora tomo el componente cero-cero que no es más que la densidad de energía

H = T 00 = − i Ψ ¯ γ 0 ∂ 0 Ψ
pero esta energía no solo es diferente a la que encontré en cada libro, también es negativa, lo que significa que ciertamente está mal. Mi pregunta ahora es ¿dónde me equivoqué?

Respuestas (2)

Si θ 1 , θ 2 son un par de variables de Grassmann, entonces

(derivada izquierda) ∂ ∂ θ 2 ( θ 1 θ 2 ) = − θ 1
donde el signo negativo se debe a que las derivadas parciales son anticonmutables con variables impares.

Además, el teorema de Taylor dice

F ( θ 1 , θ 2 + d ) = F ( θ 1 , θ 2 ) + d ∂ F ∂ θ 2 + ⋯
donde aquí el orden de los factores es importante ( F es una función par).

Por lo tanto, la expresión correcta del tensor energía-momento es

T m v = − ∂ L ∂ ( ∂ m Ψ ) ∂ v Ψ + ∂ v Ψ ¯ ∂ L ∂ ( ∂ m Ψ ¯ ) − η m v L = + i Ψ ¯ γ m ∂ v Ψ

Tenga en cuenta que la mayoría de los libros usan derivadas correctas , lo que simplifica este análisis.

El usuario AccidentalFourierTransform ya ha dado una buena respuesta. Aquí destacaremos algunos puntos:

  1. El problema principal es que el superdiferencial dice

    (1) d θ ∂ L F ( θ , θ ¯ ) ∂ θ + d θ ¯ ∂ L F ( θ , θ ¯ ) ∂ θ ¯   =   d F ( θ , θ ¯ )   =   ∂ R F ( θ , θ ¯ ) ∂ θ d θ + ∂ R F ( θ , θ ¯ ) ∂ θ ¯ d θ ¯ ,
    donde el orden de los factores depende crucialmente de si se usan derivadas por la izquierda o por la derecha. Véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

    Por ejemplo, el orden (1) se vuelve importante al construir el tensor canónico de tensión-energía-momento (SEM), que es la corriente de Noether para las traducciones del espacio-tiempo, cf. La pregunta de OP. Otro ejemplo es cuando se construye el formalismo hamiltoniano para fermiones. Consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE y los enlaces que contiene.

  2. El otro tema es que θ y θ ¯ estrictamente hablando, no son variables impares de Grassmann independientes; sin embargo, uno puede tratarlos como independientes. Este problema es similar a esta publicación de Phys.SE para variables Grassmann-even.

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