Definición abstracta de puntos conjugados

Dejar S ser una hipersuperficie de Cauchy de un espacio-tiempo globalmente hiperbólico ( METRO , O , A , gramo , T ) con campo vectorial unitario normal norte . Definir el mapa exponencial en un vecindario tu ⊆ R × S de { 0 } × S por Exp ⁡ ( t , pag ) = C pag ( t ) dónde C pag es la geodésica temporal que atraviesa pag con vector tangente norte pag . Un valor regular de Exp se llama conjugado a S .

Tengo problemas para relacionar esta definición con la noción intuitiva donde el conjugado apunta a S son puntos donde las geodésicas temporales que comienzan en puntos cercanos en S intersecarse. Estoy seguro de que esto tiene que ver con algún teorema matemático que desconozco. ¿Alguien puede ayudarme a entender esto?

¿Se toma la definición de una referencia? ¿Título? ¿Autor? ¿Página?
Sí Geometría Riemanniana con Aplicaciones a la Mecánica y la Relatividad
Esa definición, tal como está, no dice nada sobre la existencia de geodésicas convergentes. Solo dice que si q se conjuga a S y Exp ⁡ ( t , pag ) = q , entonces Exp es un difeomorfismo local de una vecindad abierta de ese ( t , pag ) a un barrio abierto de q . Sin embargo, pueden existir diferentes pares de este tipo. ( t , pag ) ∈ tu para el valor conjugado dado q .
Dichos pares diferentes, si existen y, por lo tanto, hay geodésicas convergentes en ese caso, están necesariamente alejados entre sí.
Todo eso es una aplicación directa del teorema de los valores regulares .

Respuestas (1)

En este contexto, creo que debemos considerar Exp ⁡ ( t , pag ) como una familia de mapas Exp t : S → METRO , y tome un valor regular para ser un punto q ∈ Exp t ⁡ ( S ) tal que el avance Exp t ∗ : T Exp t − 1 ⁡ ( q ) S → T q METRO es una sobreyección. Aquí t debe ser considerado simplemente como un parámetro que nos dice con qué mapa estamos tratando. En otras palabras, q es un valor regular que tendríamos T q METRO = Exp t ∗ ⁡ ( T Exp t − 1 ⁡ ( q ) S ) . Desde S tiene codimensión uno, esto obviamente solo es posible si la imagen previa Exp t − 1 ⁡ ( q ) contiene más de un punto. Al menos esto recuperaría, en cierto sentido, la noción intuitiva de puntos conjugados, y tiene cierta semejanza con la definición estándar.

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