En todos los libros de texto sobre el caos , hay muchas simulaciones numéricas. Un ejemplo típico es la sección de Poincaré .
Pero, ¿por qué la simulación numérica sigue siendo significativa si el sistema es muy sensible a los errores numéricos?
Las simulaciones numéricas no siempre son significativas, ya que la teoría del caos pertenece al gran tema de la teoría de sistemas dinámicos. Aunque las definiciones difieren, el caos generalmente ocurre en tres contextos:
Piense en dos partículas que tienen alguna trayectoria. Su movimiento será caótico si con alguna pequeña perturbación en su posición las trayectorias divergen. Su pregunta es específicamente sobre errores numéricos, que está relacionada con el criterio 1 anterior. Es decir, SDIC implica que una función tiene SDIC si existe alguna , tal que . Resulta que en realidad no es tan pequeño que la mayoría de los buenos solucionadores numéricos no puedan manejar las simulaciones numéricas. Dado que la teoría del caos ocurre en la mayoría de los sistemas dinámicos que son típicamente ecuaciones diferenciales ordinarias autónomas acopladas, existe una amplia gama de solucionadores que pueden manejar este problema bastante bien, como los solucionadores de Runge-Kutta que tienen un error numérico muy pequeño asociado con a ellos.
Como dije anteriormente, que está relacionado con la segunda parte de su pregunta, las simulaciones numéricas no siempre son necesarias, la mayoría de los libros de texto las usan con fines de demostración para que los estudiantes se interesen en los sistemas dinámicos. Por ejemplo, generalmente puede mostrar un sistema dinámico para exhibir un movimiento caótico si la geometría subyacente de las geodésicas tiene una curvatura de Ricci negativa. Esto es solo para sistemas hamiltonianos, pero siempre se puede extender un sistema no hamiltoniano a un sistema hamiltoniano al extender el espacio de fase. También se puede obtener una gran cantidad de información sobre un sistema y si presenta caos calculando los conjuntos límite alfa y omega, encontrando los atractores futuros y pasados a través de las funciones de Lyapunov, Chetaev y aplicando el principio de invariancia de LaSalle. Si desea leer más sobre esto, el libro de Hirsch, Smale,
Tres puntos de vista diferentes sobre esencialmente lo mismo:
Los sistemas caóticos no solo son sensibles a los errores numéricos, sino también a cualquier otra pequeña perturbación, como el ruido dinámico, que puede simular condiciones reales.
Aunque pequeñas perturbaciones afectan el futuro microscópico detallado de un sistema, su dinámica cualitativa no se ve afectada. Y esto último es lo que queremos investigar, si simulamos un sistema caótico.
El efecto mariposa solo es un problema si desea predecir con precisión el futuro de un sistema. Pero esto es algo que no podemos hacer de todos modos en la realidad debido a que, bueno, la realidad es ruidosa.
Es una pregunta válida preguntarse si la simulación por computadora de un sistema dinámico es representativa del comportamiento dinámico del sistema real o simplemente el artefacto de los errores de redondeo causados debido a la precisión necesariamente finita de una computadora real.
Hay un resultado crucial con respecto a esta situación llamado el teorema del sombreado [1]. Se afirma que
Aunque una trayectoria caótica calculada numéricamente diverge exponencialmente de la trayectoria real con las mismas coordenadas iniciales, existe una trayectoria sin errores con una condición inicial ligeramente diferente que permanece cerca ("sombra") de la calculada numéricamente.
Entonces, cuando itero un sistema dinámico caótico a partir de una condición inicial P , la trayectoria que arroja la computadora puede no ser representativa de la posición real del sistema dinámico debido a los errores de redondeo. Sin embargo, existirá una condición inicial Q , tal que la trayectoria real a partir de Q permanecerá cerca de mi trayectoria generada por computadora desde P.
Esto me dice que si mi simulación por computadora me muestra una estructura fractal de curvas, esta estructura realmente es mostrada por el sistema dinámico real en el sentido de que existen trayectorias que sombrean las trayectorias mostradas por mi computadora.
[1] (1993) Ott, E. Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press, páginas 18-19.
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