¿Cuál es un ejemplo físico de una bifurcación Saddle-Node?

Sugiero enfáticamente el libro Nonlinear Dynamics and Chaos de Steven H. Strogatz , que tiene varios ejemplos simples de todas las bifurcaciones básicas en algunos campos diferentes. Una interesante en biología es la de las luciérnagas sincronizando sus destellos de luz.

Como ejemplo físico 1D (para el cual el término bifurcación silla-nodo parece un poco extraño porque las sillas y los nodos son realmente puntos fijos de mayor dimensión pero el mecanismo es exactamente el mismo en 1D), Strogatz se dirige al problema de un péndulo sobreamortiguado impulsado por por un par constante$\Gamma$. (Entonces, un péndulo sumergido en algún fluido viscoso como aceite o miel y conectado a algún motor que le aplica un par constante) Si$L$es la longitud del péndulo,$m$su masa y$\theta$el ángulo entre el péndulo y la dirección vertical, entonces la ley de Newton produce

$$mL^2\ddot{\theta} + b\dot{\theta} + mgL\sin{\theta} = \Gamma$$

dónde$b$es un factor de amortiguamiento viscoso. Ahora, en el límite sobreamortiguado de grandes$b$, el primer término (el término de inercia) se puede despreciar en comparación con los demás y obtenemos la ecuación

$$b\dot{\theta} + mgL\sin{\theta} = \Gamma.$$

Podemos simplificar el análisis transformando el problema en variables adimensionales. Podemos hacer esto dividiendo por un torque. Una buena opción aquí es dividir por$mgL$, dando la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac{b}{mgL}\dot{\theta} = \frac{\Gamma}{mgL} - \sin{\theta}.$$

Posteriormente sustituyendo$\tau = \frac{mgL}{b}$y$\gamma = \frac{\Gamma}{mgL}$da la expresión adimensional:

$$\theta' = \gamma - \sin{\theta}$$

dónde$\theta' = \frac{d\theta}{d\tau}$. Ahora es fácil ver que este sistema sufre una bifurcación de nodo de silla como$\gamma$varía

• Para$\gamma > 1$,$\theta'$nunca es cero, lo que significa que el péndulo sigue dando vueltas continuamente, sin puntos fijos alrededor. Físicamente, desde$\gamma$es la relación entre el par aplicado constante y la magnitud del par gravitatorio, lo que significa que la gravedad nunca puede cancelar por completo el par aplicado. Así que no deberíamos esperar puntos fijos.
• Para$\gamma = 1$,$\theta'$es idénticamente cero para$\theta = \pi/2$, lo que significa que hay un punto fijo para que el péndulo cuelgue horizontalmente.
• Para$\gamma < 1$,$\theta'$tiene dos ceros ubicados simétricamente alrededor$\theta = \pi/2$, lo que significa que ahora hay dos puntos fijos, uno estable y otro inestable. Para saber cuál es estable, puedes considerar el signo de$\theta'$en cualquiera de los dos, pero en términos físicos ya está claro que el inferior (abajo$\pi/2$por lo que debajo de la horizontal) es el estable. Especialmente si consideramos lo que sucede si$\gamma$disminuye aún más hacia$0$.
• Para$\gamma = 0$,$\theta'$es solo una función sinusoidal, por lo que tiene un cero en$\theta = 0$y uno en$\theta = \pi$(péndulo invertido). Obviamente, el péndulo invertido es inestable, por lo que nuestra conclusión sobre la estabilidad de los puntos fijos fue correcta.

Del análisis anterior, está claro que la bifurcación del nodo de silla de montar ocurre en$\gamma = 1$, donde nacen dos puntos fijos (o, equivalentemente si nos acercamos$\gamma \rightarrow 1^-$, donde un punto fijo estable y otro inestable chocan y se aniquilan mutuamente).

Suponga que tiene una pequeña bola en un potencial periódico. El período del potencial es mucho mayor que el tamaño de la bola. (Puedes verlo como una cuenta en una tabla de lavar). Este sistema está en un agua (o cualquier líquido viscoso). Luego, los mínimos (máximos) corresponden a los nodos (sillas de montar). Si inclina la tabla de lavar, entonces en ángulos mayores que algún umbral, ya no hay mínimos ni máximos. La pelota cae a lo largo del tablero porque no existen puntos de equilibrio.

De hecho, cualquier sistema, que sea equivalente al movimiento amortiguado de una partícula en un potencial del tipo específico, tendrá una bifurcación silla-nodo. La ecuación correspondiente es

$${d^2 x \over dt^2} + \gamma {d x \over dt} + {d U(x, C) \over dx} = 0, \quad (1)$$ dónde $\gamma >0$es el parámetro de disipación, $C$es parámetro del potencial. El potencial $U(x, C)$debe satisfacer dos condiciones. (i) Debe tener al menos 2 extremos (máximo y mínimo) para algún rango de $C$. (ii) A algún valor de $C$, las posiciones de máximo y mínimo coinciden y desaparecen.

La disipación "transforma" un punto central en un nodo (para una gran disipación) a través de un foco (para una pequeña disipación). En el ejemplo, el agua juega un papel de disipación. Está claro que la bifurcación del nódulo de la silla está estrechamente relacionada con las bifurcaciones del centro de la silla y del foco de la silla.

Otro ejemplo (más físico) es una unión Josephson (superconductor-aislante-superconductor) bajo corriente constante$I$. La ecuación correspondiente (en forma adimensional) es

$${d^2 \phi \over dt^2} + \gamma {d \phi \over dt} + \sin(\phi) = I, \quad (2)$$ dónde $\phi$es la diferencia de fases cuánticas de los dos SC. El potencial correspondiente es $U(x,I)= 1 - \cos(\phi) -I \phi$. Para algún valor de I, la bifurcación silla-nodo ocurre en la ecuación (2).