Dinámica no lineal vs Caos

Estoy confundiendo entre dinámica no lineal y caos. El caos también es una dinámica no lineal, ¿verdad? entonces, ¿cuál es la diferencia entre el caos y la dinámica no lineal ?

Lo que entendí del caos es que son algunos errores o pequeñas desviaciones que se repiten en el espacio-tiempo y con el tiempo se amplifica. Además, esto también depende de la condición inicial. Esto también es una no linealidad, ¿verdad?

Hay algunos ejemplos raros e interesantes de movimiento caótico, que incluso si conoce las condiciones iniciales con precisión; no podrá predecir su futuro con precisión. Por ejemplo, una partícula que descansa en la parte superior de la curva y = − X 4 3 , puede salir de la parte superior en cualquier momento, sin perturbaciones térmicas.

Respuestas (3)

No todos los sistemas no lineales son caóticos. Sin embargo, un sistema caótico es necesariamente no lineal. No existe una definición de caos pero usando la dada por Strogatz, ref 1:

El caos es un comportamiento aperiódico a largo plazo en un sistema determinista que exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales.

Como se explica en el texto:

  • Comportamiento aperiódico a largo plazo = el sistema nunca se establece en una configuración estable.

  • determinista = descarta la posibilidad de que el movimiento irregular se deba al ruido oa una entrada aleatoria, es decir, quiere que se deba a la no linealidad del sistema.

  • Dependencia sensible de las condiciones iniciales = incluso si comienzas con dos condiciones iniciales muy cercanas entre sí, el resultado de cada una será tremendamente diferente. Es decir, no puede decir qué sucederá con otros puntos (cercanos) si sabe cómo se comporta un punto.

Un buen ejemplo es la varilla doble, ver Wiki :

péndulo de doble varilla

Animación de péndulo de doble barra que muestra un comportamiento caótico. Empezar el péndulo desde una condición inicial ligeramente diferente daría como resultado una trayectoria completamente diferente. El péndulo de doble barra es uno de los sistemas dinámicos más simples que tiene soluciones caóticas.

Un sistema lineal, por otro lado, es un sistema que, cuando aumenta la entrada, por ejemplo, dos veces, la salida también será el doble. Sin embargo, en un sistema no lineal, el cambio en la entrada puede ser totalmente diferente del cambio en la salida.

Sin embargo, debo agregar una advertencia: según wikipedia, el caos es posible en sistemas lineales si el sistema es de dimensión infinita .

A modo de aclaración: caos no es otra palabra para inestabilidad. Tomemos por ejemplo el sistema

X ˙ = d X d t = X .
La solución para este sistema es exponencial. X = X ( 0 ) mi t , lo que implica que las trayectorias cercanas se separan exponencialmente entre sí. ¡Pero esto no es un caos! Esto es porque sabemos lo que eventualmente sucederá: es decir, las trayectorias se repelen hasta el infinito y nunca regresarán. ¡Aquí el punto fijo del sistema es el infinito!

Sin embargo, el caos es inherentemente impredecible y aperiódico, excluye puntos fijos y soluciones periódicas.

Referencias:

  1. Dinámica no lineal y caos por Steven H. Strogatz
Con respecto a la calificación de "dependencia sensible de las condiciones iniciales": dx/dt = x ciertamente tiene 'dependencia sensible', ya que cualquier diferencia se magnificará exponencialmente, pero es lineal. Entonces, ¿qué lo distingue de, digamos, las ecuaciones de Lorenz?
@metacompactness: ¿cuál es el libro del que tomaste esta definición?
@AnneO'Nyme capítulo 8 de este libro .
@Venge: he agregado una respuesta a su pregunta.
@AnneO'Nyme Te daré una versión descargable gratuita si quieres.
@AnneO'Nyme buena respuesta, +1. Realmente me gustó tu último ejemplo de un sistema lineal simple que podría malinterpretarse como caótico a priori. Por otro lado, ¿conoces algún buen ejemplo que aclararía por qué el caos no es necesariamente sinónimo de azar?
Yo agregaría que un sistema autónomo (funciones F k no depende explícitamente del tiempo t ) debe ser descrita, al menos, por tres ecuaciones de primer orden ( X ˙ k = F k ( X 1 , X 2 , … , X norte ) , dónde k = 1 , 2 , … , norte ) para ser caótico. Un sistema autónomo, descrito por dos ecuaciones de primer orden, no puede demostrar una dinámica caótica. Un sistema, descrito por tres ecuaciones, se denomina, a veces, un sistema con "uno y medio" grados de libertad.

Aclaraciones y adición:

Es cierto que no todos los sistemas no lineales son caóticos, pero que todos los sistemas caóticos son no lineales (o lineales de dimensión infinita). La sensibilidad a las condiciones iniciales es un punto importante y el comentarista plantea una buena pregunta.

Considere el sistema de Lorenz en un régimen de parámetros no caótico (o, para el caso, cualquier sistema oscilatorio estable): a medida que el tiempo pasa a números extremadamente grandes, podemos estar seguros de que terminaremos en algún lugar en una trayectoria fija, independientemente de las condiciones iniciales (suponiendo que comenzamos en algún lugar de la cuenca de atracción para el atractor). Así que esa es una gran limitación sobre dónde terminaremos.

Ahora considere el sistema de Lorenz en un régimen de parámetros caótico, el atractor extraño. Lo que define la situación como tal es el hecho de que no podemos limitar dónde terminaremos de la misma manera; no hay una trayectoria eventualmente fija en un sistema caótico.

La adición aquí, y una forma matemáticamente más directa de decir lo que acabo de decir, es que un sistema caótico tiene al menos un exponente positivo de Lyapunov. Para cualquier sistema dinámico, se puede calcular un exponente de Lyapunov para cada dimensión del sistema; el sistema de Lorenz tiene tres, por ejemplo, para un régimen de parámetros dado. El artículo de Wikipedia lo define bien, por lo que no profundizaré en la definición: un exponente de Lyapunov define la tasa de divergencia (o convergencia) de las trayectorias de un sistema en su espacio de fase. Puedes imaginar, entonces, para un atractor estable, estas trayectorias se acercarían infinitamente a medida que el tiempo llega al infinito. Esto sería entonces un exponente de Lyapunov negativo.

Los exponentes de Lyapunov solo se pueden calcular numéricamente, pero cuanto más tiempo tengas, más seguro estarás de sus valores. Dado que un sistema caótico nunca converge a una trayectoria estable en el espacio de fases, al menos un exponente de Lyapunov será positivo. Finalmente, todos ellos no pueden ser positivos porque sería un sistema que tiende a infinito como el tiempo tiende a infinito, y por lo tanto no tiene ningún tipo de atractor.

https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_exponent

Como has comentado, hay una omisión menor pero muy importante. La sensibilidad a las condiciones iniciales es infinitamente grande. O mejor, digamos, dos vectores del espacio de estado, que modelan las condiciones iniciales, sin importar qué tan cerca estén, eventualmente divergirán entre sí en las trayectorias correspondientes.

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