¿El caos es predecible?

Estoy leyendo un libro de física computacional [1] donde se estudia en profundidad el péndulo no lineal accionado. Esta es la ecuación derivada en el libro:

d 2 θ d t 2 = − gramo yo pecado ⁡ θ − q d θ d t + F d pecado ⁡ ( Ω d t )

Los autores saben bajo qué condiciones el péndulo cambia a un régimen caótico, probablemente porque utilizaron literatura previa o porque experimentaron numéricamente con este sistema.

Mirando la ODE, ¿podemos predecir la existencia de un comportamiento caótico? En caso afirmativo, ¿es posible saber, cualitativamente, cómo se deben ajustar los parámetros para encontrar este comportamiento caótico?

[1] Física computacional , NJ Giordano y H. Nakanishi, segunda edición, Pearson Prentice Hall, 2006

Consulte aquí algunos ejemplos que aplican las técnicas habituales de dinámica no lineal a este sistema.
@poorsod Gracias por la referencia: parece (los mismos gráficos) el libro que usé. Sin embargo, mi pregunta era mucho más general: ¿podemos decir que un sistema oculta un comportamiento caótico solo al mirar ODE?
@RM He escrito una respuesta en una respuesta completa .

Respuestas (2)

En general, no. Es posible reconocer un (sistema de) ecuación ( es) diferencial(es) como no lineal (es) simplemente por inspección, pero hay muchos sistemas no lineales no caóticos. El caos es una condición más fuerte (y, desafortunadamente, no bien definida).

Además, muchos (¿la mayoría?) de los sistemas, incluido el famoso atractor de Lorenz , solo exhiben caos bajo ciertas condiciones. El atractor de Lorenz, por ejemplo, sufre una bifurcación en r = 1 ; por r < 1 el origen es un atractor estable . No hay forma de saber que la bifurcación está ahí, o en qué región el sistema es caótico, simplemente observando la forma de las ecuaciones, porque las mismas ecuaciones pueden describir tanto una solución no caótica como una caótica.

¿Qué condición física tiene el r < 1 ¿Condición corresponde? ¿Es ese el límite entre orbitar un cuerpo y orbitar ambos?
En estos días, el sistema de Lorenz a menudo se estudia 'en abstracto', es decir, sin referirse a los parámetros r , b y σ a cualquier sistema físico. Sin embargo, Lorenz desarrolló las ecuaciones como un modelo de juguete de convección de fluidos en una caja. En esta interpretación, r es el número de Rayleigh del fluido (como una relación del número de Rayleigh crítico: r = Real academia de bellas artes / Real academia de bellas artes C r i t ). Asi que r < 1 corresponde a Real academia de bellas artes < Real academia de bellas artes C r i t - es decir, sin convección.
Nótese que en esta interpretación del modelo de Lorenz, X , y y z no se refieren a coordenadas espaciales. Son parámetros relacionados con propiedades dinámicas de la convección, como perfiles de temperatura y velocidades.
Incluso si entiendo tu punto, Caos está bien definido y la primera oración puede ser engañosa...
Hay otra gran cita de la que no puedo encontrar la fuente que diga algo así como "El caos es como la visión de la pornografía del juez Stewart : lo reconoces cuando lo ves".
Aún así, la afirmación de que el caos no está bien definido es engañosa, ya que lo lleva al área de las palabras de moda. El punto es que hay múltiples definiciones, que son precisas por sí mismas, aunque los científicos no estén de acuerdo con una de ellas. También la afirmación de que "muchos sistemas (...) solo exhiben caos bajo ciertas condiciones" es engañosa, ya que cambiar los parámetros r significa cambiar el sistema. Entonces no hay condiciones adicionales, la solución de un sistema determinista para una condición inicial dada es caótica o no lo es.
@BenjaminHodgson Estimado Ben, +1 por la respuesta breve y concisa. Pareces estar bastante versado en la "teoría del caos", ¡esta publicación reciente puede ser de tu interés! física.stackexchange.com/questions/141772/…

La respuesta es un claro no. En primer lugar, las EDO no lineales pueden no tener solución para algunas condiciones iniciales o, por el contrario, tener varias soluciones. Para la unicidad y existencia se necesita que la derivada sea continua lo que puede no ser obvio a simple vista para sistemas de varias EDO no lineales.

Una vez garantizada la unicidad y la existencia, en los sistemas caóticos siempre hay parámetros de control. Un sistema ODE no lineal dado tendrá soluciones simples o complejas pero no caóticas para un rango de parámetros de control y puede tener soluciones caóticas para otro rango de parámetros de control.

La ecuación logística aunque no sea una EDO (X(n+1) = µ.Xn.(1-Xn)) mostrará un comportamiento caótico solo para algunos valores de µ. No se conoce una regla general y simple que permita saber si para un sistema EDO no lineal dado existe un conjunto de valores de los parámetros de control para los cuales las soluciones son caóticas.

Sin embargo, es un poco más fácil desde un punto de vista físico. Las órbitas caóticas en física tienen 2 propiedades: divergencia exponencial (llamada sensibilidad a las condiciones iniciales) y disipación que asegura que las órbitas no exploten hasta el infinito. Esto se ve topológicamente como "estiramiento" y "plegamiento" en el espacio de fase. Entonces, si toma un sistema forzado que será disipativo Y sus ecuaciones de movimiento no serán lineales, entonces tendrá una buena oportunidad de encontrar regímenes caóticos.

El caso del caos hamiltoniano (problema del cuerpo gravitacional N) es diferente, ya que no implica estiramientos y plegamientos, sino inestabilidades orbitales en un toro.

Más allá de estos 2 casos en los que se pueden buscar soluciones caóticas, está por supuesto el dominio de las EDP que da lugar a soluciones caóticas espaciotemporales (en contraposición al mero caos temporal para el caso de las EDO).

Incluso si la pregunta no concierne al PDE, la respuesta es obviamente no para ellos también, incluso si el comportamiento caótico es más frecuente en el espacio temporal que en el dominio temporal.

¿El caos es predecible?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 4v