¿La aplicación de las Ecuaciones Estructurales de Cartan parece implicar que la acción de Einstein-Palatini es cero?

Question

¿La aplicación de las Ecuaciones Estructurales de Cartan parece implicar que la acción de Einstein-Palatini es cero?

jeffk

La acción de Einstein-Palatini se puede escribir como

S = {METRO}_{pag yo}^{2} \int ε_{a b C d} ({mi}^{a} \land {mi}^{b} \land R^{C d}),

$S = M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(e^a\wedge e^b\wedge R^{cd}\right),$ dónde

e^{a} = {e^{a}}_{μ} {dx}^{μ}

$e^a={e^a}_\mu\text{dx}^\mu$ es la base de una sola forma y

R^{a b} = \frac{1}{2} {R^{a b}}_{μ ν} {dx}^{μ} \land {dx}^{ν}

$R^{ab}=\frac{1}{2}{R^{ab}}_{\mu\nu}\text{dx}^\mu\wedge\text{dx}^\nu$ es la curvatura de Riemann de dos formas. Las ecuaciones de la estructura de Cartan para la conexión sin torsión y compatible con la métrica de GR son

R^{a b} = D ω^{a b} = d ω^{a b} + {ω^{a}}_{C} ω^{b C}, 0 = D {mi}^{a} = d {mi}^{a} + {ω^{a}}_{b} {mi}^{b},

$R^{ab} = D\omega^{ab} = d\omega^{ab} + {\omega^a}_c \omega^{bc}, \quad 0 = De^a = de^a + {\omega^a}_be^b,$ dónde

ω^{a b} = {ω^{a b}}_{μ} {dx}^{μ}

$\omega^{ab}={\omega^{ab}}_\mu\text{dx}^\mu$ es la conexión de espín (antisimétrica) de una sola forma.

Ahora, mi confusión proviene del hecho de que si aplico la primera ecuación de estructura, integro por partes (despreciando los términos de contorno) y aplico la segunda ecuación de estructura, toda la acción parece desvanecerse.

\begin{aligned} S & = {METRO}_{pag yo}^{2} \int ε_{a b C d} ({mi}^{a} \land {mi}^{b} \land D ω^{C d}) \\ = {METRO}_{pag yo}^{2} \int ε_{a b C d} (- D ({mi}^{a} \land {mi}^{b}) \land ω^{C d}) \\ = {METRO}_{pag yo}^{2} \int ε_{a b C d} (- D {mi}^{a} \land {mi}^{b} \land ω^{C d} + {mi}^{a} \land D {mi}^{b} \land ω^{C d}) \\ = {METRO}_{pag yo}^{2} \int ε_{a b C d} (0 + 0) = 0 \end{aligned}

$\begin{align} S &= M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(e^a\wedge e^b\wedge D\omega^{cd}\right) \\ &= M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(-D(e^a\wedge e^b)\wedge\omega^{cd}\right) \\ &= M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(-De^a\wedge e^b\wedge\omega^{cd} + e^a\wedge De^b\wedge\omega^{cd}\right) \\ &= M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(0+0\right)=0 \end{align}$

Obviamente, esto no parece correcto, entonces, ¿hay algún error en mi comprensión en alguna parte? ¿Es incorrecto usar las ecuaciones de estructura e integrar por partes en la acción de esta manera?

Sounak Sinha

Usted asumió que la conexión es compatible con la tétrada.

jeffk

@SounakSinha sí, lo hice, pero ¿no es este el caso en GR?

Sounak Sinha

En la tétrada de acción Palatini, la compatibilidad no es una declaración en el shell.

jeffk

Ok, gracias @SounakSinha. Si las ecuaciones de estructura no son verdaderas en la estructura, entonces, ¿cómo deben entenderse en este contexto? Cualquier referencia que pueda recomendar es, por supuesto, también bienvenida.

Sounak Sinha

Pruebe el artículo de Wikipedia .

jeffk

@SounakSinha Obviamente, ese es el primer lugar donde busqué y no responde a mi pregunta, pero gracias de todos modos.

Respuestas (3)

¿La aplicación de las Ecuaciones Estructurales de Cartan parece implicar que la acción de Einstein-Palatini es cero?

Usted asumió que la conexión es compatible con la tétrada.
En la tétrada de acción Palatini, la compatibilidad no es una declaración en el shell.
Ok, gracias @SounakSinha. Si las ecuaciones de estructura no son verdaderas en la estructura, entonces, ¿cómo deben entenderse en este contexto? Cualquier referencia que pueda recomendar es, por supuesto, también bienvenida.
@SounakSinha Obviamente, ese es el primer lugar donde busqué y no responde a mi pregunta, pero gracias de todos modos.

jeffk · Answer 1

Encontré una fuente confiable que responde a mi pregunta (Apéndice 4.1 - M. Gasperini, Theory of Gravitational Interactions; DOI 10.1007/978-88-470-2691-9), así que presentaré la resolución de mi confusión aquí por el bien de la posteridad. El problema no es usar las ecuaciones de estructura en el caparazón (de hecho, esta es puramente una teoría clásica) y no hay error en mi cálculo. El problema es que la acción de Palatini se define con una torsión distinta de cero y solo corresponde a GR después de que se toma el límite de torsión nula después de calcular las ecuaciones de movimiento.

El formalismo de Palatini requiere que usemos la ecuación de estructura

T^{a} = D {mi}^{a} = d {mi}^{a} + {ω^{a}}_{b} {mi}^{b},

$T^a = De^a = de^a + {\omega^a}_be^b ,$ dónde

T^{a} = \frac{1}{2} {T^{a}}_{μ ν} {dx}^{μ} \land {dx}^{ν} \neq 0

$T^a = \frac{1}{2}{T^a}_{\mu\nu}\text{dx}^\mu\wedge\text{dx}^\nu \neq 0$ es la torsión de dos formas. Luego se puede integrar por partes para encontrar

\begin{aligned} S & = {METRO}_{pag yo}^{2} \int ε_{a b C d} ({mi}^{a} \land {mi}^{b} \land D ω^{C d}) \\ = {METRO}_{pag yo}^{2} \int ε_{a b C d} (- T^{a} \land {mi}^{b} \land ω^{C d} + {mi}^{a} \land T^{b} \land ω^{C d}) \neq 0, \end{aligned}

$\begin{align} S &= M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(e^a\wedge e^b\wedge D\omega^{cd}\right) \\ &= M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(-T^a\wedge e^b\wedge\omega^{cd} + e^a\wedge T^b\wedge\omega^{cd}\right) \neq 0 , \end{align}$ que es una versión perfectamente válida de la acción Palatini.

Para hacer contacto con GR (aquí sin fuentes de materia por simplicidad), debemos variar la acción con respecto a los dos campos independientes en nuestra teoría, $e^a$ y $\omega^{ab}$ , que produce los siguientes EOM.

d_{mi} S = ε_{a b C d} R^{a b} \land {mi}^{C} = 0, d_{ω} S = ε_{a b C d} T^{a} \land {mi}^{b} = 0

$\delta_e S = \varepsilon_{abcd}R^{ab}\wedge e^c = 0 , \quad \delta_\omega S = \varepsilon_{abcd}T^a\wedge e^b = 0$ Estas son las ecuaciones de "Einstein-Cartan", y después de volver a convertirlas a la notación de componente tensorial, es fácil ver que la primera da precisamente las ecuaciones de Einstein de GR mientras que la segunda da una EOM para la torsión que, por supuesto, es trivial después de tomar la límite

T^{a} \to 0

$T^a \rightarrow 0$ .

La historia corta es que el formalismo de Palatini no reproduce GR si simplemente establecemos $T^a=0$ al nivel de la acción. Las dos teorías sólo coinciden una vez que tomamos el límite de torsión nula a nivel de los EOM.

Mad Max · Answer 2

Esta parte tuya es incorrecta:

\begin{aligned} S & \sim \int ε_{a b C d} ({mi}^{a} \land {mi}^{b} \land D ω^{C d}) \\ = \int ε_{a b C d} (- D {mi}^{a} \land {mi}^{b} \land ω^{C d} + {mi}^{a} \land D {mi}^{b} \land ω^{C d}) \end{aligned}

$\begin{align} S &\sim \int\varepsilon_{abcd}\left(e^a\wedge e^b\wedge D\omega^{cd}\right) \\ &= \int\varepsilon_{abcd}\left(-De^a\wedge e^b\wedge\omega^{cd} + e^a\wedge De^b\wedge\omega^{cd}\right) \end{align}$ La derivación correcta es:

\begin{aligned} S & \sim \int ε_{a b C d} ({mi}^{a} \land {mi}^{b} \land D ω^{C d}) \\ = \int ε_{a b C d} (- (d {mi}^{a} + \frac{1}{2} {ω^{a}}_{k} \land {mi}^{k}) \land {mi}^{b} \land ω^{C d} + {mi}^{a} \land (d {mi}^{b} + \frac{1}{2} {ω^{b}}_{k} \land {mi}^{k}) \land ω^{C d}) \end{aligned}

$\begin{align} S &\sim \int\varepsilon_{abcd}\left(e^a\wedge e^b\wedge D\omega^{cd}\right) \\ &= \int\varepsilon_{abcd}\left(-(de^a + \frac{1}{2} {\omega^a}_k\wedge e^k)\wedge e^b\wedge\omega^{cd} + e^a\wedge (de^b+ \frac{1}{2} {\omega^b}_k\wedge e^k)\wedge\omega^{cd}\right) \\ \end{align}$ Obviamente:

d {mi}^{a} + \frac{1}{2} {ω^{a}}_{k} \land {mi}^{k} \neq D {mi}^{a} = d {mi}^{a} + {ω^{a}}_{k} \land {mi}^{k}

$de^a + \frac{1}{2} {\omega^a}_k\wedge e^k \neq De^a= de^a + {\omega^a}_k\wedge e^k$

Se agregó una nota después de la discusión con @JeffK (la persona que originalmente hizo la pregunta), ya que @JeffK optó por defender el cálculo incorrecto.

Derivada covariante móvil $D$ entre $\omega$ y $e$ es un poco complicado, debido a la definición única de $D\omega$ .

Se puede llegar a la acción de Einstein aplicando la condición de torsión cero

0 = D {mi}^{a} = d {mi}^{a} + {ω^{a}}_{b} {mi}^{b}

$0 = De^a = de^a + {\omega^a}_be^b$ a la acción de Einstein-Palatini, mediante la expresión

ω

$\omega$ como una función de

e

$e$ , eliminando efectivamente la dependencia explícita de la acción de Einstein en

ω

$\omega$ .

La acción de Einstein aparentemente no es cero. Espero que @JeffK pueda ver la luz y evite cometer errores similares en futuros estudios/investigaciones.

Gracias por la respuesta @MadMax. ¿Puedes explicar de dónde viene el factor de 1/2?
@JeffK, en notación abreviada, tienes que reescribir $\omega^2 = \frac{1}{2}\omega^2 + \frac{1}{2}\omega^2$ antes de moverse $\omega$ alrededor para hacer coincidir dos $de$ . Por otro lado, cuando haces variaciones en $\omega$ para obtener la ecuación de movimiento donde $De$ aparece naturalmente, usted no tiene la $\frac{1}{2}$ cuestión, desde $\delta \omega^2 = \omega\delta\omega + \delta\omega \omega$ .
@JeffK, tu auto-respuesta también es incorrecta ( $S = 0$ en el limite $T\rightarrow0$ ), la noción de que la acción es cero en el caparazón (usando la ecuación de movimiento) solo se aplica a ciertas acciones. Por ejemplo, la acción de Dirac es cero en el caparazón, ya que todos los términos en la acción de Dirac son lineales en $\psi$ (o $\bar\psi$ ). Pero la acción de Einstein-Palatini no es cero en la cáscara, ya que $R$ contiene ambos $\omega$ y $\omega^2$ términos.
Con respecto a su primer comentario, no hay "movimiento" de ω aquí. Hay una integración por partes entre las dos primeras líneas en mi pregunta original, donde moví la derivada covariante de ω a $e \wedge e2$ (y eliminó el término límite). Para su segundo comentario, ¡este es el punto completo! Si toma el límite de torsión cero antes de calcular los EOM, obtendrá una acción cero (como lo haría con cualquier teoría si integra todos los campos). Uno debe mantener la torsión general en la acción Palatini y luego, si lo desea, eliminar la torsión al final para encontrar GR.
"Moví la derivada covariante", mal, no puedes mover la derivada covariante de $D\omega$ a $De$ , como expliqué anteriormente. La integración por partes solo funciona para $d$ , no para $D$ . tienes que moverte $\omega$ alrededor correctamente.
Esto no es correcto, la integración por partes siempre debe realizarse con la derivada covariante. Esto queda claro, por ejemplo, por el hecho de que la densidad tensorial $\varepsilon_{abcd}$ solo viaja con $D$ es decir $D\varepsilon_{abcd}=0$ (ver la sección 2 del apéndice al que hice referencia). Aquí hay otra fuente donde se usa la integración por partes de la misma manera que yo lo hago 2009.11739v1 (entre las ecuaciones 3.6 y 3.8).
la transferencia de $De\chi$ a $eD\chi$ (entre las ecuaciones 3.6 y 3.8 en el documento 2009.11739v1) funciona solo si $D\chi$ Se define como $D\chi^{ab} = d\chi^{ab} + 2{\omega^a}_c \wedge \chi^{bc}$ (ver eq A.39 en M. Gasperini, Theory of Gravitational Interactions). Tenga en cuenta que hay un $2$ factor, diferente de $D\omega = d\omega + \omega^2$ .
$D\chi$ no se define con el factor de 2 en este documento y ciertamente no se define de manera diferente para diferentes formas del mismo carácter de índice. La derivada covariante con respecto a la conexión de espín (Lorentz) de cualquier forma $\alpha^{ab}$ es siempre $D\alpha^{ab} = d\alpha^{ab} +{\omega^a}_c\alpha^{bc}$ . Si desea elegir una convención con el 1/2, está bien, pero debe ser constante. Siéntase libre de estar en desacuerdo, pero en ese caso solicitaría amablemente una fuente (ya que A.39 es un derivado de la métrica y no de una sola forma) y sugiero que pasemos al chat para una mayor discusión.
Consulte la ecuación A.38 (A.39 fue un error tipográfico) en M. Gasperini, Theory of Gravitational Interactions. Me detendré aquí, se está volviendo tedioso, buena suerte repasando tu cálculo diferencial.

Stuckelberator · Answer 3

Toda esta discusión gira en torno a un concepto erróneo común debido al hecho de que a algunos autores (por razones que desconozco) les gusta abreviar $d\omega^{ab}+\omega^a{}_c\wedge \omega^{cb}$ como $D\omega^{ab}$ . Mientras uno entienda que esto es solo notación, las cosas están bien. Pero luego, la gente lee esto y asume que se trata de una derivada covariante exterior. Está claro que las derivadas covariantes exteriores NO actúan sobre formas de conexión 1, sino solo sobre formas cuyos componentes son tensores de algún rango de la misma manera que las derivadas covariantes habituales NO actúan sobre símbolos de conexión, como los símbolos de Christoffel. Lo que por supuesto es correcto es $\delta R^{ab}=D\delta\omega^{ab}$ ya que la diferencia de las formas de conexión 1 sí se transforma en el Adjunto. Además, en el formalismo de formas diferenciales la integración por partes siempre debe realizarse con la derivada exterior $d$ y no la covariante, exactamente como dicta el teorema de Stokes generalizado.

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