¿Por qué es necesario sacar la segunda derivada para determinar la concavidad?

El valor de la derivada es la pendiente de la recta tangente. Si la pendiente es positiva la función es creciente, si es negativa la función es decreciente.

Cuando pregunta sobre la concavidad, está preguntando sobre cómo está cambiando la pendiente . Si la pendiente aumenta, la curva se vuelve más empinada, por lo que se "dobla hacia arriba" o "en forma de gorra". Eso significa (generalmente) que se encuentra por encima de la línea tangente. Si la pendiente está disminuyendo, entonces la curva se está "doblando hacia abajo", por lo que quedará debajo de la línea tangente. Las funciones más fáciles de considerar son$f(x) = x^2$que tiene forma de casquete, siempre por encima de sus tangentes, y$f(x) = -x^2$.

Dado que las derivadas miden tasas de cambio, una forma de ver si la propia derivada es creciente o decreciente es encontrar su derivada: la segunda derivada de la función original. Para las parábolas del párrafo anterior, la primera tiene la segunda derivada constante$2$, lo que significa que la pendiente aumenta a esa tasa constante.

Para enfatizar un punto que no se enfatiza en otras respuestas: no es necesario usar la segunda derivada para determinar la concavidad, porque existen métodos alternativos para determinar la concavidad.

Toma por ejemplo$f(x)=x^4$. Puedes verificar fácilmente que$f''(0)=0$, por lo que la prueba de la segunda derivada ni siquiera funcionará aquí. No obstante, su gráfica es cóncava hacia arriba en$x=0$, que puedes observar usando una calculadora gráfica. Hay un método alternativo para verificar la concavidad hacia arriba de$f(x)=x^4$, como se explica en otras respuestas: verifique directamente que la primera derivada$f'(x)=4x^3$es una función creciente.

Pero esta prueba de "primera derivada" para la concavidad (es decir,$f'(x)$es una función creciente) el método es más difícil de aplicar que simplemente usar la prueba de la segunda derivada (es decir,$f''(x)$es una función positiva), asumiendo que la prueba de la segunda derivada funciona.

Entonces, el punto real es que usar la prueba de la segunda derivada para verificar la concavidad es muy útil :

• Es muy facíl de usar;
• Los casos en los que no funciona son raros (por ejemplo,$f(x)=x^4$);
• Los métodos alternativos son más difíciles de aplicar.

La primera derivada te da la pendiente de una recta que es tangente a la gráfica en un punto$x$.

La segunda derivada es una medida de cómo cambia esa pendiente a medida que variamos$x$.

Por ejemplo, considere la función$f(x)=x^2$. En$x=-1$, la pendiente de la recta tangente es$-2$. En$x=0$, la pendiente de la recta tangente es$0$. El hecho de que la pendiente de la recta tangente aumente al aumentar$x$, es equivalente a decir que$f"(x)>0$, lo que equivale a decir que la gráfica es cóncava hacia arriba

Sí, en cuadráticas, el$x^2$términos te dice si es cóncava; sin embargo, el método puede ser más útil con funciones más complejas. Si, en un punto, la segunda derivada es cero y la segunda derivada es positiva, sabes (al menos alrededor de ese punto) que no es cóncava hacia abajo y si es positiva, sabes que lo es, sin importar si es una cuadrática o una de dos. línea-trig-función-lío. Bueno, esto no funcionará para algunas funciones cableadas, pero esto debería darle una idea de por qué.