¿Cuándo interactúan exactamente los fermiones idénticos?

Pongámoslo en detalle: considere el potencial unidimensional

$$V_\ell(x) = \begin{cases} \infty \quad x \in \left(-\infty,-\ell-\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\ell + \frac{1}{2}, \ell - \frac{1}{2}\right) \cup \left( \ell + \frac{1}{2},\infty \right) \\ 0 \quad \ \ \text{else} \end{cases}$$

Dejar$\psi_{L,R}(x)$sean funciones de onda para una partícula centrada en el pozo izquierdo respectivamente derecho. Entonces las funciones de onda de dos partículas son

$$\Psi(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_L(x) \psi_R(y) - \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_R(x) \psi_L(y)$$

independientemente del valor de$\ell$.

Sin embargo, la pregunta importante es qué observables queremos considerar. Por ejemplo, supongamos que desea calcular la probabilidad de encontrar una partícula en un intervalo$I$que se supone que está contenido, digamos, en el pozo izquierdo. Esta probabilidad es

$$p(I) = 2 \int_I d x \int_{\mathbb{R}\setminus I} d y \ |\Psi(x,y)|^2 \ .$$

El factor$2$en frente surge porque tenemos que integrar sobre las regiones$x\in I, y \in \mathbb{R}\setminus I$y$x \in \mathbb{R}\setminus I, y \in I$, pero su contribución es la misma. Debido a las propiedades de soporte del$\psi_{L,R}$funciones de onda:

$$p(I) = \left[\int_I |\psi_L(x) | dx \right] \left[ \int_{\mathbb{R}\setminus I} |\psi_R(x)|^2 dx \right] = \int_I |\psi_L(x) | dx$$

donde en la segunda igualdad se utilizó la normalización. Entonces, cuando queremos calcular propiedades relacionadas solo con un pozo, podemos usar la función de onda que describe un solo pozo. Tenga en cuenta que en realidad no hay pozos infinitos, por lo que las funciones de onda tendrán algunas colas exponenciales fuera del pozo. Entonces, el error que cometemos al calcular las propiedades con funciones de onda de un pozo decae como$e^{- C \ell}$, con$C$el tamaño de la barrera.