¿Por qué el valor de la integral de acción en relatividad general es el mismo en todas las regiones que son homólogas?

En su famoso artículo Integrales de acción y funciones de partición en la gravedad cuántica , Gibbons y Hawking argumentan que para evitar la singularidad de un agujero negro de Schwarzschild, se puede complejizar el espacio-tiempo y luego integrarlo en una región euclidiana al evaluar el funcional de acción. Además, afirma que no importa en qué región se integre, siempre que sea homóloga a la región euclidiana.

Aquí hay un extracto del documento (debajo de la ecuación (2.18)):

Hemos evaluado la acción sobre una sección del espacio-tiempo complejizado sobre la cual la métrica inducida es real y definida positiva. Sin embargo, porque R , F a b y k son funciones holomorfas en el espaciotiempo complejizado excepto en las singularidades, la integral de acción es realmente una integral de contorno y tendrá el mismo valor en cualquier sección del espaciotiempo complejizado que sea homóloga a la sección euclidiana aunque la métrica inducida en esta sección pueda ser complejo.

¿Cómo se convierte la integral de acción en una integral de contorno y por qué es independiente de la región?

Esta última no es una cuestión perteneciente a la integral de acción: las integrales de contorno siempre son invariantes bajo deformación homóloga del contorno. Para lo primero, ¿podría escribir la integral explícita que Hawking (presumiblemente) usa en algún lugar allí?
Si solo considera la parte integral del tiempo, y el tiempo se puede tratar como una variable compleja, la integral de acción se puede ver como una integral de contorno en el plan complejo del tiempo (complejo).
Solo está usando el teorema del residuo: en.wikipedia.org/wiki/Residue_theorem
@ACuriousMind, ¿podría señalarme una referencia sobre la deformación homóloga? Hawking integra sobre la acción de Einstein--Hilbert con el término límite GHY ( en.wikipedia.org/wiki/… ). Lo hace, por ejemplo, para la métrica de Schwarzschild ( en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric ) a lo largo de valores reales de θ , ϕ , r < r 0 y el tiempo imaginario i t que es periódico. Si no tienes acceso al paper, Bañados también lo puso a tu disposición aquí: srv2.fis.puc.cl/~mbanados/Cursos/TopicosRelatividadAvanzada/…
@jld pero el artículo de Wikipedia solo habla sobre el plano complejo, no sobre una variedad compleja de cuatro dimensiones. ¿Podría señalarme alguna generalización?

Respuestas (1)

Se pueden tratar las coordenadas del espacio-tiempo como complejas y, por lo tanto, convertir las integrales del espacio-tiempo en integrales de contorno en el plano complejo. El valor de la integral de una función que es holomorfa excepto en ciertos puntos (singulares) ahora está determinado por su estructura de singularidad: el teorema del residuo de Cauchy nos dice que la integral está dada únicamente en términos del residuo de la función evaluada en estos puntos singulares. puntos. El residuo corresponde al coeficiente de expansión de orden − 1 en la serie de Laurent de la función. El punto clave es que el contorno de integración preciso no juega un papel mientras contenga la singularidad.

Su primera oración es exactamente lo que escribe Hawking. Mi pregunta es ¿cómo se hace eso? Ni siquiera sé qué significa un contorno si estamos hablando de integrales de cuatro dimensiones. El teorema del residuo de Cauchy, según tengo entendido, solo habla del plano complejo. ¿Cómo se generaliza a variedades complejas de cuatro dimensiones?
¿Por qué el valor de la integral de acción en relatividad general es el mismo en todas las regiones que son homólogas?
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