¿Por qué la acción integral de trayectoria no es real en la mayoría de la materia condensada QFT?

Creo que la pregunta más precisa es "¿por qué este término en este camino de tiempo imaginario es imaginario?"

En realidad, en el formalismo de integral de trayectoria (tiempo imaginario), no existe una razón genérica para que una acción sea real. De hecho, es posible que esa sea exactamente una característica de la mecánica cuántica: la amplitud de un camino puede ser compleja. En la integral de ruta en tiempo real, la parte de acción es real y es exigida por la unitaridad. Sin embargo, algún término puede volverse imaginario después de hacer la rotación de Wick. El ejemplo más fácil es probablemente el término de fase de Berry por campo magnético externo para una sola partícula:

$$\exp{\left( i \int \mathrm{d}t \, \left[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \cdot A \right]\right)} ~~=~~\exp{\left[- \int \mathrm{d}\tau \, \left(-i\right) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau} \cdot A \right]}$$

La respuesta a su pregunta (para simplificar, déjeme tomar un solo bosón):$\int \mathrm{d}\tau \, b^{*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} b$es en realidad también un término de fase de Berry cuando se hace una integral de trayectoria de estado coherente. Este tipo de término de fase de Berry no proviene de un campo de calibre externo, sino del uso de una base demasiado completa.

Una forma heurística de verlo: el término$\int \mathrm{d}\tau \, b^{*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} b$vino de$\int \mathrm{d}t \, i b^{*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} b$antes de hacer la rotación de Wick, que vino de la transición de Legendre de hamiltoniano a lagrangiano (porque$\left[i b^{\dagger},b\right]=i$y pueden verse como el momento conjugado de los demás). El término correspondiente en la analogía integral de trayectoria de una sola partícula es

$$\exp{\left(i \int \mathrm{d}t \, p \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d} t} \right)} ~~=~~\exp{\left(- \int \mathrm{d}\tau \, \left[ -i p \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d} \tau}\right]\right)} \,,$$ que también es imaginario.

La fuente de este término de cuantización canónica ($Z=Tr(e^{-i H t })$) a la integral de trayectoria ($Z=\int Dq \, e^{i S[q] })$) es conectando estados coherentes $|\alpha \rangle=|x,p\rangle$como la base sobrecompleta,

$$\int \mathrm{d}x \, \mathrm{d}p \, \left|x,p \right> \, \left< x, p \right| ~\propto~ I \,,$$ y la no ortogonalidad entre $|x,p\rangle$y $|x',p'\rangle$da $\exp{\left(i \int \mathrm{d}t \, p \, \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d} t}\right)}.$Se puede hacer exactamente lo mismo con la teoría de campo que escribiste.

Tenga en cuenta que esta derivación es diferente de la derivación en el libro de texto de mecánica cuántica elemental. Es una práctica divertida. En caso de que encuentre dificultades, una fuente aleatoria que acabo de encontrar en Google es una nota de Fradkin .

Su formulación se basa en la integral de trayectoria temporal imaginaria. La compleja conjugación de$\frac{\partial}{\partial \tau}$,

$$\left(\frac{\partial}{\partial \tau}\right)^\star = -\frac{\partial}{\partial \tau}$$ le da un signo menos adicional. Por lo tanto el funcional de acción es hermitiano.