El problema

Considere la siguiente acción euclidiana

$$S_E = - \int_{\mathcal{M}} d^4x \sqrt{g} \left [\frac{R}{2 \kappa} +\mathcal{L}_M \right ] + S_{GHY},$$ dónde $S_{GHY} = -\int_{\partial \mathcal{M}}\frac{K-K_0}{\kappa}$es un término límite. Considere el límite de gravedad débil expandiendo términos en potencias de $\kappa = 8 \pi G$, $$\begin{align} R = R^{(1)} \kappa + \mathcal{O}(\kappa^2), \quad S_{GHY} = S_{GHY}^{(0)} +\mathcal{O}(\kappa). \end{align}$$ De manera similar, a primer orden, solo la métrica plana $g^{(0)}_{\mu \nu}= \eta_{\mu \nu}$se considera en la parte materia, $\mathcal{L}_M[\phi, \partial \phi, g^{(0)}_{\mu \nu}]$. La acción entonces se reduce a $$\begin{align} S_E &= \int_{\mathcal{M}} d^4x \sqrt{g^{(0)}} (-\mathcal{L}_M[\phi, \partial\phi, g^{(0)}_{\mu \nu}])+ \left(\int_{\mathcal{M}} d^4x \sqrt{g^{(0)}} \left [\frac{-R^{(1)}}{2} \right ] + S^{(0)}_{GHY} \right) + \mathcal{O}(\kappa). \end{align}$$ La parte de materia produce las ecuaciones de movimiento para campos de materia que se obtendrían ignorando la gravedad desde el principio. Sin embargo, el valor real de la acción es diferente en el límite $\kappa \to 0$, se corrige por el segundo término. En la tunelización cuántica, esto marcaría la diferencia, ya que la acción euclidiana de un instante entra en la tasa de tunelización, $\Gamma \sim e^{-S_E}$. Este problema no se soluciona restando una configuración de campo de fondo. ¿Alguien sabe qué tiene de malo esta línea de razonamiento o por qué el segundo término es inofensivo?

Algunos ejemplos relevantes

El falso vacío decae con la gravedad

El segundo término de esta acción de primer orden es inofensivo si desaparece cuando se evalúa en una configuración física. Este es el caso del artículo de Coleman y de Luccia sobre el falso vacío que decae con la gravedad [1]. La acción del rebote calculada correctamente se reduce al resultado sin gravedad como$\kappa \to 0$. Se puede demostrar que, en este caso, que

$$\int_{\mathcal{M}} d^4x \sqrt{g^{(0)}} \left [\frac{-R^{(1)}}{2} \right ] = S^{(0)}_{GHY} = 0.$$

Acción de un muro de dominio plano

Sin embargo, no parece que siempre funcione tan bien. Considere la acción de una pared de dominio planar en un universo cerrado como se describe en Caldwell, Chamblin y Gibbons' Pair creación de agujeros negros por paredes de dominio [2]. Supongamos que la pared es perpendicular a la$z$dirección (que es una distancia adecuada), entonces puede definir la densidad de energía como

$$\sigma = \int dz \left( \frac{1}{2}(\partial_z \phi)^2 + U(\phi) \right).$$ La acción sin gravedad es entonces $$\int d^4x \sqrt{g^{(0)}} (- \mathcal{L}_M) = \sigma \int d^3x \sqrt{\gamma^{(0)}} \equiv \sigma \mathcal{A}$$ dónde $\gamma_{ij}$es la métrica inducida en hipersuperficies con normal en el $z$dirección. La acción completa es $$- \int_{\mathcal{M}} d^4x \sqrt{g} \left [\frac{R}{2 \kappa} +\mathcal{L}_M \right ] = -\frac{\sigma}{2} \mathcal{A}.$$ La traza de la ecuación de Einstein $-\tfrac{R}{2\kappa} = T$se utiliza para obtener este resultado. Esto no se reduce a la acción correcta al apagar la gravedad porque tiene el signo incorrecto. Tal vez sea porque no puedes tener un espacio-tiempo cerrado cuando apagas la gravedad, y un término límite salvaría el día. Pero esto parece exagerado.

Una nota final: en realidad,$R^{(1)}$es solo una derivada total (ver el escalar de Ricci linealizado en la gravedad de MTW, sección 18.1):

$$R_{lin} = h_{\mu \nu}^{ \quad ,\mu ,\nu} - h^{,\mu}_{\;,\mu}$$ así que uno podría esperar que $\int_{\mathcal{M}} R^{(1)}$cancelaría con el término de frontera $S^{(0)}_{GHY}$. No pude probar esto.

Referencias

[1] Coleman, S. & De Luccia, F. Efectos gravitacionales sobre y de la caída del vacío. Revisión Física D 21, 3305 (1980).

[2] Caldwell, RR, Chamblin, HA & Gibbons, GW Creación de pares de agujeros negros por paredes de dominio. Revisión Física D 53, 7103 (1996).