Derivación euclidiana de la temperatura del agujero negro; singularidades cónicas

Bueno, la singularidad no concierne a la estructura diferenciable: incluso alrededor de la punta de un cono (incluida la punta) se puede definir una estructura diferenciable suave (obviamente, esta estructura suave no puede ser inducida por la natural en$R^3$cuando el cono se ve como incrustado en$R^3$). ¡Aquí la singularidad es métrica sin embargo! Considere un$2D$variedad lisa en un punto$p$, suponga que una métrica uniforme se puede definir en una vecindad de$p$, incluido$p$sí mismo. A continuación, considere una curva$\gamma_r$rodeando$p$definido como el conjunto de puntos con distancia geodésica constante$r$de$p$. Dejar$L(r)$sea ​​la longitud (métrica) de esa curva. Es posible demostrar que:

$$L(r)/(2\pi r) \to 1\quad \mbox{ as $r \to 0$.}\qquad (1)$$ En realidad, es bastante evidente que este resultado se cumple. Decimos que un $2D$colector, equipado con una métrica suave en un vecindario $A-\{p\}$, de $p$(nótese que ahora $p$no pertenece al conjunto donde se define la métrica), tiene una singularidad cónica en $p$si: $$L(r)/(2\pi r) \to a\quad \mbox{ as $r \to 0$,}$$ con$0<a<1$.

Observe que la clase de curvas$\gamma_r$se puede definir de todos modos, incluso si la métrica en$p$no está definido, ya que la longitud de las curvas y geodésicas sí lo está (como un límite cuando un punto final termina en$p$). Obviamente, si hay una singularidad cónica en$p$, no es posible extender la métrica de$A-\{p\}$a$p$, de lo contrario (1) sería verdadero y sabemos que es falso.

Como puedes entender, todo eso es independiente de la elección de las coordenadas que fijas alrededor$p$. No obstante, las coordenadas polares son muy convenientes para realizar cálculos: El hecho de que no estén definidas exactamente en$p$es irrelevante ya que solo nos interesa lo que sucede alrededor$p$en el cálculo de los límites como se indica arriba.

Sí, eliminar el punto eliminaría la singularidad, pero el hecho es que es imposible extender la variedad para tener una métrica definida también en el punto límite.$p$: la métrica sobre el resto de la variedad recuerda de la existencia de la singularidad cónica!

El hecho de que la variedad lorentziana no tenga singularidades en la sección euclidiana y sea periódica en la coordenada de tiempo euclidiana tiene la siguiente interpretación física en una variedad con un horizonte Killing bifurcado generado por un campo vecotr Killig$K$. Tan pronto como se introduce una teoría de campos en la sección lorentziana, la suavidad de la variedad y la periodicidad en el tiempo euclidiano implica que la función de dos puntos del campo, calculada con respecto al único estado gaussiano invariante bajo el tiempo Killing y verificar la llamada condición de Hadamard (que continuó analíticamente en el tiempo euclidiano para obtener la sección euclidiana) verifica una cierta condición, dijo la condición KMS con periodicidad$\beta = 8\pi M$.

Esa condición significa que el estado es térmico y el período del tiempo imaginario es la constante$\beta$del conjunto canónico descrito por ese estado (donde también se ha tomado el límite termodinámico). De modo que, la temperatura asociada de "mecánica estadística" es:

$$T = 1/\beta = 1/8\pi M\:.$$

Sin embargo, la "temperatura termodinámica"$T(x)$medido en el evento$x$por un termómetro "en reposo con" (es decir, cuya línea universal es tangente a) el tiempo de Matanza en la sección lorentziana tiene que ser corregido por el conocido factor de Tolman . Se tiene en cuenta que la temperatura percibida se mide con respecto al tiempo propio del termómetro, mientras que el estado del campo está en equilibrio con respecto al tiempo de Matanza . La razón de las nociones de temperatura es la misma que la razón inversa de las dos nociones de tiempo, y está encapsulada en la (raíz cuadrada de la magnitud de la) componente$g_{00}$de la métrica

$$\frac{T}{T(x)}=\frac{dt_{proper}(x)}{dt_{Killing}(x)} = \sqrt{-g_{00}(x)}\:.$$ En un espacio-tiempo asintóticamente plano , para $r \to +\infty$, se mantiene $g_{00} \to -1$de modo que la temperatura de la "mecánica estadística" $T$coincide con la medida por el termómetro $T(r=\infty)$muy lejos del horizonte del agujero negro. Esta es una respuesta a tu última pregunta.

En los comentarios, hablaste sobre estructuras suaves en conifolds y preguntaste sobre un conifold que no es un manifold...

Por supuesto, depende de su definición de conifold (consulte, por ejemplo, Boileau-Leeb-Porti "Geometrization of 3-dimensional orbifolds" para obtener una definición de conifold hiperbólico, euclidiano o esférico).

Consulte McMullen: "el teorema de Gauss-Bonnet para variedades de cono" para obtener una buena definición de variedad de cono de Riemann (o conifold).

En cualquier caso, el complemento del lugar singular (que tiene codimensión al menos dos) de la conifold es una variedad con una métrica suave de Riemann, y la conifold es su terminación geodésica.

En cualquier definición, conifold (o cono-variedad) debe ser un espacio de longitud métrica y un espacio estratificado con una estructura suave y una métrica de Riemann (en el sentido de espacios estratificados, no de variedades en general).

Para ejemplos no múltiples (usando la definición de McMullen) ... En la dimensión dos, cada 2-conifold (o superficie cónica) es topológicamente una variedad, en contraste con una dimensión superior: piense, por ejemplo, en el cono euclidiano sobre el plano proyectivo esférico (es decir, la ronda de 2 esferas módulo Z/2)