La gravedad como teoría de calibre

Una teoría generalmente se denomina "teoría de calibre" si todas las interacciones en esa teoría se introducen mediante la promoción de simetrías globales para medir simetrías. Tenga en cuenta que una teoría de calibre es una teoría invariante de calibre, pero una teoría invariante de calibre no tiene que ser una teoría de calibre (por ejemplo, el modelo estándar es invariante de calibre, pero no es una teoría de calibre ya que la autointeracción escalar no t ampliar la simetría de calibre del modelo). La teoría de Yang-Mills es un ejemplo de teoría de calibre, pero no todas las teorías de calibre son del tipo de Yang-Mills. La Relatividad General es una teoría de calibre en tres sentidos diferentes, a saber:

1. Invariancia bajo difeomorfismos . El difemorfismo puede verse como una versión local (medida) de las traducciones$\delta x^{\mu}\rightarrow a^{\mu}(x)$. Para que la teoría sea diff. invariante, una derivada covariante$\nabla$debe reemplazar las derivadas parciales$\partial$(una métrica general y dinámica$g$el tensor debe reemplazar la métrica de Minkowski$\eta$también). Aquí, el campo más similar a la conexión Yang-Mills es la conexión Levi-Civita$\Gamma$(nótese que en la formulación de Palatini este campo es independiente de la métrica), que se transforma en un tensor más un término que involucra la derivada de$a(x)$, similar a la transformación de un campo no abeliano.

2. Invariancia bajo diff infinitesimal . Uno puede dividir$g$en un fondo fijo y una perturbación dinámica$h$, y la acción de un diff infinitesimal. sobre la perturbación resulta ser$\delta h_{\mu\nu}=\partial_{\mu}a_{\nu}+\partial_{\nu}a_{\mu}$, que también es una simetría de calibre. Esta es la simetría de calibre relacionada con la falta de masa de los gravitones (al igual que$SU_c(3)$está relacionado con la falta de masa de los gluones y$U_{em}(1)$a las masas de los fotones). Aquí, el campo más similar a la conexión de Yang-Mills es$h$, que se transforma de manera similar al potencial electromagnético, aunque$h$no es una conexión en ningún sentido que yo sepa.

3. Invariancia bajo transformaciones locales de Lorentz. Resulta que para que los espinores se acoplen al campo gravitatorio, es conveniente introducir la formulación de tétrada. En este enfoque, existe una simetría de calibre relacionada con la libertad que uno tiene para elegir diferentes bases en diferentes puntos del espacio-tiempo. Hay que introducir una derivada covariante (diferente a la primera en esta respuesta) que nos permita cambiar de base. Esta formulación es la más cercana a la teoría de Yang-Mills (bueno, las variables de Ashtekar probablemente sean aún más cercanas). La principal diferencia es que en GR, además de una conexión dinámica (equivalente al campo de calibre en Yang-Mills), hay un campo de tétrada (debido al hecho de que la métrica es un campo dinámico en gravedad) que no tiene un contraparte en Yang-Mills. Aquí, el campo más cercano al de Yang-Mills es la conexión de espín antes mencionada,

La gravedad no es la teoría de Yang-Mills en sentido estricto, bueno, excepto por las equivalencias como AdS/CFT o la teoría Matrix que implican que una teoría cuántica gravitatoria es completamente equivalente a una teoría de calibre que vive en un espacio diferente (por ejemplo, en AdS/ CFT, en el límite del espacio AdS).

Sin embargo, la gravedad es una teoría de calibre en el sentido más amplio porque está convenientemente formulada usando el grupo de simetría de difeomorfismo. Los difeomorfismos identifican configuraciones físicas que son físicamente equivalentes, como en el caso de Yang-Mills, por lo que aunque no son del tipo Yang-Mills, deben tratarse como las simetrías de Yang-Mills en las teorías de Yang-Mills.

La gravedad puede verse como una teoría de calibre del grupo de Lorentz (que actúa en el espacio tangente). Estos fueron señalados por Kibble y Sciama durante los años 50 y 60.

Como dijo John antes, se ve mejor en términos de formas diferenciales.

Otra referencia que puede resultarle interesante son las notas de clase sobre la gravedad de Chern-Simons de Jorge Zanelli (disponibles en arXiv).