¿Por qué el tensor tensión-energía es simétrico?

Aquí solo discutiremos teorías relativistas generales de difeomorfismo-materia invariante en un espacio-tiempo curvo en el límite clásico$\hbar\to 0$por simplicidad. En particular, no discutiremos el pseudotensor SEM para el campo gravitatorio, sino solo el tensor de tensión-energía-momento (SEM) para campos de materia (m).$\Phi^A$. Hacemos hincapié en que nuestras conclusiones serán independientes de si se cumplen o no las EFE .

I) Por un lado, el tensor-densidad básico Hilbert/métrico SEM$^1$es manifiestamente simétrico$^2$

$$\tag{1} \sqrt{|g|}T^{\mu\nu}~\equiv~{\cal T}^{\mu\nu}~:=~-2\frac{\delta S_m}{\delta g_{\mu\nu}},$$

cf. un comentario de Lubos Motl. Sin embargo, tenga en cuenta que la definición básica (1) no es aplicable, por ejemplo, a la materia fermiónica en un espacio-tiempo curvo, cf. Sección II.

La invariancia del difeomorfismo conduce (a través del segundo teorema de Noether ) a una identidad fuera del caparazón. Usando las ecuaciones de la materia. de movimiento (eom)

$$\tag{2} \frac{\delta S_m}{\delta \Phi^A}~\stackrel{m}{\approx}~0,$$

la correspondiente segunda identidad de Noether dice$^3$

$$\tag{3} \nabla_{\mu} T^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~0,$$

cf. por ejemplo, ref. 1. [Aquí el$\stackrel{m}{\approx}$símbolo significa igualdad módulo materia eoms. La conexión$\nabla$es la conexión Levi-Civita.] Eq. (3) sirve como un importante control de consistencia. Una fuente de materia$T^{\mu\nu}$a las EFE debe satisfacer la ec. (3), cf. la identidad (diferencial) de Bianchi.

II) En el formalismo de Cartan , el campo gravitacional fundamental no es el tensor métrico$g_{\mu\nu}$pero en cambio un vielbein$e^a{}_{\mu}$. La densidad de tensor SEM de Hilbert generalizada se define como

$$\tag{4}{\cal T}^{\mu}{}_{\nu}~:=~{\cal T}^{\mu}{}_a~e^a{}_{\nu}, \qquad {\cal T}^{\mu}{}_a ~:=~- \frac{\delta S_m}{\delta e^a{}_{\mu}},$$

que ya no es manifiestamente simétrica, cf. por ejemplo, ref. 2.

A continuación tenemos dos simetrías: la simetría local de Lorentz y la invariancia del difeomorfismo.

En primer lugar, la simetría local de Lorentz conduce (a través del segundo teorema de Noether ) a una identidad fuera del caparazón. Usando la materia eoms (2), se lee la segunda identidad de Noether correspondiente

$$\tag{5} {\cal T}^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~{\cal T}^{\nu\mu},$$

es decir, el tensor-densidad SEM de Hilbert generalizado (4) sigue siendo simétrico cuando se satisfacen los eoms de materia.

En segundo lugar, la invariancia del difeomorfismo conduce (a través del segundo teorema de Noether ) a una identidad fuera de la cáscara$^4$

$$\tag{6} d_{\mu}{\cal T}^{\mu}{}_{\nu} ~=~{\cal T}^{\mu}{}_a ~d_{\nu}e^a{}_{\mu} -\frac{\delta S_m}{\delta \Phi^A}~d_{\nu}\Phi^A.$$

No es sorprendente que las ecs. (5), (6), y$(\nabla_{\nu} e)^a{}_{\mu}=0$implica la ec. (3).

III) Por otro lado, el tensor-densidad canónico SEM

$$\tag{7} \Theta^{\mu}{}_{\nu} ~:=~\frac{\partial {\cal L}_m}{\partial\Phi^A_{,\mu}}\Phi^A_{,\nu} -\delta^{\mu}_{\nu}{\cal L}_m$$

no siempre es simétrica, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. El hecho de que la densidad lagrangiana${\cal L}_m$no tiene una dependencia explícita del espacio-tiempo conduce (a través del primer teorema de Noether ) a una identidad fuera de la cáscara

$$\tag{8} d_{\mu}\Theta^{\mu}{}_{\nu} ~=~-\frac{\delta S_m}{\delta e^a{}_{\mu}}~d_{\nu}e^a{}_{\mu} -\frac{\delta S_m}{\delta \Phi^A}~d_{\nu}\Phi^A.$$

Recuerde que el campo gravitatorio, el vielbein$e^a{}_{\mu}$, no es necesariamente en el shell. Recuerde que estamos haciendo FT en espacio-tiempo curvo en lugar de GR. Como consecuencia, el primer término del lado derecho de la 1.ª identidad de Noether (8) rompe la interpretación habitual del 1.er teorema de Noether que conduce a una ley de conservación en el caparazón. [Es reconfortante ver que se restaura para un vielbein constante con$d_{\nu}e^a{}_{\mu}=0$.]

IV) Ecs. (4), (6) y (8) implican que

$$\tag{9} d_{\mu}({\cal T}^{\mu}{}_{\nu}-\Theta^{\mu}{}_{\nu})~=~0.$$

Se puede demostrar que en general existe un tensor-densidad de mejora de Belinfante

$$\tag{10} {\cal B}^{\lambda\mu}{}_{\nu}~=~-{\cal B}^{\mu\lambda}{}_{\nu},$$

tal que

$$\tag{11} {\cal T}^{\mu}{}_{\nu}-\Theta^{\mu}{}_{\nu} ~=~d_{\lambda}{\cal B}^{\lambda\mu}{}_{\nu},$$

cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . Tenga en cuenta que las ecs. (10) y (11) son consistentes con la ec. (9).

V) Ec. (11) sirve como una verificación de consistencia importante de la densidad de tensor SEM de Hilbert (4) frente a la densidad de tensor SEM canónica (7). ecuación (11) implica que las dos cargas de Noether correspondientes, la energía-momento$4$-covectores

$$\tag{12} P_{\nu} ~:=~ \int\! d^3x~{\cal T}^0{}_{\nu} \quad\text{and}\quad \Pi_{\nu} ~:=~ \int\! d^3x~\Theta^0{}_{\nu}$$

son iguales hasta los términos del límite espacial

$$\tag{13} P_{\nu}-\Pi_{\nu}~=~\int\! d^3x~d_i{\cal B}^{i0}{}_{\nu}~\sim~0,$$

cf. el teorema de la divergencia

Referencias:

1. RM Wald, GR; Apéndice E.1.

2. DZ Freedman y A. Van Proeyen, SUGRA, 2012; pags. 181.

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$^1$Una densidad tensorial ${\cal T}^{\mu\nu}= e T^{\mu\nu}$es en este contexto sólo un tensor$T^{\mu\nu}$multiplicado por la densidad$e=\sqrt{|g|}$.

$^2$Convenciones: En esta respuesta, usaremos$(+,-,-,-)$Convención de signos de Minkowski. Índices griegos$\mu,\nu,\lambda, \ldots,$son los llamados índices curvos , mientras que los índices romanos$a,b,c, \ldots,$son los llamados índices planos .

$^3$Tenga en cuenta que la ec. (3) no es una ley de conservación en sí misma. Para obtener una ley de conservación, necesitamos un campo vectorial Killing, cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

$^4$Aquí hemos supuesto que los campos de materia$\Phi^A$solo llevan índices planos o espinoriales, cf. la configuración de mi respuesta Phys.SE aquí . Si$\Phi^A$también tienen índices curvos, habrá más términos en la ec. (6) proporcional a la materia eoms.

Aquí está mi propia respuesta a la primera parte de la pregunta. No sé la respuesta a la segunda parte.

Elijamos un conjunto local de coordenadas de Minkowski$(t,x,y,z)$. Después$T_{\mu\nu}$representa un flujo de$\mu$componente de energía-momento a través de una hipersuperficie perpendicular a la$\nu$eje. Por ejemplo, supongamos que tenemos un grupo de partículas en reposo en un marco determinado y consideramos$T_{tt}$. El componente de tiempo$p_t$del vector energía-momento es masa-energía. Dado que estas partículas están en reposo, su masa-energía está toda en forma de masa. Si hacemos una hipersuperficie perpendicular a la$t$eje, es decir, una hipersuperficie de simultaneidad, entonces todas las líneas de mundo de estas partículas están pasando a través de esa hipersuperficie, y ese es el flujo que$T_{tt}$medidas: esencialmente, la densidad de masa.

Esto hace plausible que$T$tiene que ser simétrico. Por ejemplo, digamos que tenemos algunas partículas no relativistas. Si tenemos un distinto de cero$T_{tx}$, representa un flujo de masa a través de una hipersuperficie perpendicular a$x$. Esto significa que la masa se mueve en el$x$dirección. Pero si la masa se mueve en el$x$dirección, entonces tenemos algunos$x$impulso$p_x$. Por lo tanto, también debemos tener un$T_{xt}$, ya que este momento lo llevan las partículas, cuyas líneas de mundo atraviesan una hipersuperficie de simultaneidad.

Más rigurosamente, las ecuaciones de campo de Einstein dicen que el tensor de curvatura de Einstein$G$es proporcional al tensor tensión-energía. Ya que$G$es simétrico,$T$debe ser simétrica también.