¿Cómo probar que un tensor simétrico es de hecho un tensor?

Un tensor no es un concepto particularmente relacionado con la relatividad (ver, por ejemplo, tensor de tensión ), pero es un concepto más general que describe las relaciones lineales entre objetos, independientemente de la elección del sistema de coordenadas .

Esta independencia coordinada da como resultado la ley de transformación que das donde,$\Lambda$, es solo la transformación entre las coordenadas que estás haciendo. Para la relatividad especial, esta es la transformada de Lorentz, pero en la física clásica puede ser una simple rotación. El punto es que el tensor se mantiene independientemente del cambio de coordenadas.

Por lo tanto, para mostrar que algo es un tensor, solo tiene que demostrar que obedece a la ecuación de transformación y que su respuesta transformada sigue siendo un resultado válido y puede volver a transformarse en el original haciendo la transformada inversa.

Nuestro profesor definió un rango$(k,l)$tensor como algo que se transforma como un tensor

Oh querido. Demasiado común y demasiado defectuoso pedagógicamente.

Un tensor no es ni más ni menos que un mapa lineal de (posiblemente múltiples copias de) un espacio vectorial (y posiblemente copias de su espacio dual) al campo escalar.

Si te doy componentes$T_{\mu\nu}$(16 componentes en total) en un sistema/base de coordenadas específico, luego puede mapear dos vectores cualquiera en un escalar con él. Simplemente considere los componentes del vector en el mismo sistema de coordenadas y contraiga los índices:$T(\vec{v},\vec{w}) = T_{\mu\nu} v^\mu w^\nu \in \mathbb{R}$. Además, este mapa es lineal por construcción. Entonces es un tensor. Nada en absoluto necesita ser revisado.

Sin embargo, lo que sucede es que a veces escribes simultáneamente los componentes para (ostensiblemente) el mismo objeto en dos sistemas de coordenadas diferentes. Por ejemplo, tiene expresiones para los 16$T_{\mu\nu}$y otros 16$T_{\mu'\nu'}$. Si hizo todo bien y de manera consistente y no está siendo engañado con un problema de libro de texto intencionalmente engañoso, estos conjuntos de componentes deberían relacionarse a través de cualquier ley de transformación que lo lleve genéricamente de coordenadas no imprimadas a imprimadas. Por lo tanto, podría ser una buena idea verificar que esto se cumpla. Pero es solo un control de cordura.

Alternativamente, alguien puede haberle entregado$T_{\mu\nu}$y$T_{\mu'\nu'}$y preguntó "¿son estos componentes del mismo objeto, solo que en diferentes sistemas de coordenadas?" Luego también puede aplicar la transformación para verificar. Si no funciona, no es que no tengas un tensor. Más bien, tienes dos tensores distintos.

Si entiendo correctamente, está preguntando cómo probar que la simetría de un tensor es independiente de las coordenadas, pero parece tener problemas con la definición de un tensor. Bueno, no eres el primero. Déjame darte una definición que podría ayudarte.

Primero, suponga que tiene algo de espacio (puede ser 3 espacios o espacio-tiempo o lo que sea) y tiene un conjunto de coordenadas$\{x^i\}$definido en él. Y digamos que tienes una partícula moviéndose en tu espacio, con una trayectoria dada por$x^i = x^i(t)$. Aquí$t$es solo un parámetro. Puedes encontrar las componentes de la velocidad en tu sistema de coordenadas:$u_x^i(t) = dx^i/dt$. (Estoy usando subíndices para etiquetar los sistemas de coordenadas). Ahora aquí está la cosa:

Suponga que calcula la velocidad en un sistema diferente de coordenadas$\{y^i\}$; sería$u_y^i(t) = dy^i/dt$. Pero si sabes las coordenadas$y^i$en función de las coordenadas$x^j$, puedes averiguar cómo se relacionan las dos velocidades:

$$u_y^i(t) = \frac{dy^i(x)}{dt} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} \frac{d x^j}{dt} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} u^j_x(t)$$

He usado la regla de la cadena y el hecho de que el$y^i$son funciones de la$x^j$.$\partial y^i / \partial x^j$tendrá diferentes propiedades dependiendo de las coordenadas. En el espacio tridimensional euclidiano, normalmente usamos coordenadas cartesianas y, por lo tanto,$\partial y^i / \partial x^j$sería una matriz de rotación; en la Relatividad Especial sería una transformación de Lorentz, y así sucesivamente. En Relatividad General usamos todo tipo de coordenadas, y las transformaciones en general no serán lineales.

Así que ahora sabemos cómo se transforma la velocidad de una partícula (o, como lo llamarían los matemáticos, el vector tangente a una curva) cuando cambias de coordenadas. A menudo es útil considerar dicho vector como un objeto$\vec{u}$que es independiente de las coordenadas. De hecho, todo este asunto de las leyes de transformación y la convención de Einstein es una forma de asegurarse de que las cosas no dependan de las coordenadas. Las componentes de un vector (o de un tensor) dependerán de las coordenadas, pero si todo se transforma de la misma manera, las ecuaciones formadas por tensores tendrán la misma forma en diferentes sistemas de coordenadas.

Ahora podemos definir vectores en general, preguntando si tienen la misma ley de transformación que las velocidades:

un vector $\vec{X}$es una función que asigna un conjunto de números (llamados sus componentes)$X_x^i\ (i = 1\dots n)$a cada sistema de coordenadas$\{x^i\}$, tal que si$\{x^i\}$y$\{y^i\}$son dos sistemas de coordenadas, las componentes de$X$están relacionados por

$$X_y^i = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} X_x^j$$

Nota al margen: lo que he definido es técnicamente un campo vectorial, no un vector simple. Esta no es una distinción importante aquí. Además, me estoy restringiendo a bases de coordenadas por simplicidad.

Esto es esencialmente lo mismo que la definición de "conjunto de números que se transforma así", pero creo que es un poco más claro y explícito en cuanto a qué son las cosas.

Un tensor se puede definir como algo que se transforma como productos de vectores: Si tomamos dos vectores$\vec{u}$y$\vec{v}$y definir la cantidad (dependiente de las coordenadas)$T_x^{ij} = u^i_x v^j_x$, entonces en dos sistemas de coordenadas diferentes encontramos (definiendo$\Lambda^i_{\ j} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j}$):

$$T^{ij}_y = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{kl}_x$$

Siguiendo la definición de un vector, podemos definir un$(2,0)$tensor$T$(no necesariamente un producto de vectores como arriba) como una función que asigna un conjunto de números$T^{ij}_x$a cada sistema de coordenadas, de modo que los componentes en dos sistemas diferentes sigan la ley de transformación anterior.

Ahora vayamos a tu pregunta. Usted pregunta cómo probar que un tensor simétrico es un tensor, pero esta es una pregunta tautológica, ¡porque un tensor simétrico obviamente es un tensor! Sospecho que la pregunta real es la siguiente. Definió un tensor simétrico como uno que tiene la propiedad$T^{ij} = T^{ji}$. Esta es una definición válida, pero depende a priori de las coordenadas. Nos gustaría probar que si la identidad anterior es verdadera en un sistema de coordenadas, lo es en todos ellos.

Así que supongamos en algunas coordenadas$\{x^i\}$sucede que$T_x^{ij} = T_x^{ji}$para todos$i,j$. Dejar$\{y^i\}$ser un sistema de coordenadas arbitrario. Entonces

$$T_y^{ij} = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{kl}_x = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{lk}_x = \Lambda^j_{\ l} \Lambda^i_{\ k} T^{lk}_x = T_y^{ji}$$

Para obtener la segunda igualdad usé eso$T_x^{kl} = T_x^{lk}$, para obtener la tercera igualdad moví el$\Lambda$s alrededor, y en la primera y última igualdad usé la ley de transformación para un tensor. Entonces hemos encontrado que si un tensor es simétrico en algún sistema de coordenadas, es simétrico en cualquier sistema de coordenadas. Por lo tanto, tiene sentido decir que la simetría es una propiedad del tensor en lugar de su representación en un sistema de coordenadas particular.

Una observación final: como dijiste, un tensor con dos índices se puede representar como una matriz. Las derivadas de la transformación$\partial y^i / \partial x^j$también se puede representar como una matriz. ¡Estas matrices tienen diferentes significados! Un tensor es un objeto independiente de las coordenadas y su matriz cambiará si cambias las coordenadas. Una transformación se define solo entre un par específico de sistemas de coordenadas. Si tienes una matriz$\Lambda^i_{\ j}$coordenadas relacionadas$x$y$y$como arriba, no tiene sentido preguntar qué$\Lambda$parece en coordenadas$z$. Entonces, aunque un tensor simétrico tiene una matriz simétrica ($A^T = A$) y una matriz de rotación es ortogonal ($A^{-1} = A^T$), estas propiedades no están relacionadas entre sí.