¿Qué es la invariancia de forma de las leyes físicas y cómo se relaciona con los tensores?

Tomemos como ejemplo las ecuaciones de Maxwell. Me centraré en la relatividad especial, porque es mejor comprender cómo funciona esto en la relatividad especial antes de pasar a GR.

Supongamos que empezamos en el marco de referencia de Alicia. Podemos escribir la ecuación de Maxwell en notación de 3 vectores (voy a usar unidades gaussianas con$k=c=1$)

$$\begin{eqnarray} \nabla \cdot \vec{E} &=& 4\pi \rho \\ \nabla \cdot \vec{B} &=& 0 \\ \nabla \times \vec{E} &=& -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{B} &=& 4\pi \vec{J} + \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{eqnarray}$$ También podemos escribir las ecuaciones de Maxwell en el marco de referencia de Alice en notación de 4 vectores $$\begin{eqnarray} \partial_\mu F^{\mu\nu} &=& J^\nu \\ \partial_{[\lambda} F_{\mu\nu]} &=& 0 \end{eqnarray}$$ Primero, a un nivel un tanto superficial, observe que las ecuaciones en la forma relativista son más compactas, con es agradable.

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Ahora supongamos que Bob se mueve a una velocidad$\vec{v}=v \hat{e}_z$en relación con Alice (es decir, la velocidad de Bob es$|v|$y su velocidad es puramente en el$z$dirección). Hagamos una transformación de Lorentz al marco de Bob, correspondiente a un impulso en el$z$dirección. Podemos escribir la matriz de transformación de Lorentz$\Lambda^{\mu}_{\ \ \nu}$como

$$\begin{equation} \Lambda = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & -\gamma v \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\gamma v & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \end{equation}$$ dónde$\gamma \equiv (1-v^2)^{-1/2}$.

Nos gustaría saber cómo se ven el campo electromagnético y las fuentes en el marco de Bob.

Primero veamos las cantidades de 3 vectores. Denotaremos cantidades en el marco de Bob por números primos, por lo que$\vec{E}'$es el campo eléctrico de 3 vectores$\vec{B}'$es el campo magnético de 3 vectores en el marco de Bob. La transformación de$\vec{E},\vec{B}$a$\vec{E}',\vec{B}'$es bastante complicado El$z$los componentes no cambian,$E_z'=E_z$,$B_z'=B_z$. Mientras tanto el$x$y$y$los componentes satisfacen

$$\begin{eqnarray} E_a' &=& \gamma(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) \cdot\hat{e}_a \\ B_a' &=& \gamma(\vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}) \cdot\hat{e}_a \end{eqnarray}$$ dónde$a=\{x,y\}$, y$\hat{e}_a$es un vector unitario (en el marco de Alice) en el$a$dirección. Mientras tanto, la carga y las corrientes también se transforman. $$\begin{eqnarray} \rho' &=& \gamma(\rho - \vec{J} \cdot \vec{v}) \\ \vec{J}' &=& \vec{J} - \gamma \rho \vec{v} - \frac{\gamma-1}{v^2} (\vec{J} \cdot \vec{v})\vec{v} \end{eqnarray}$$ Las coordenadas también se transforman. Mientras$x'=x$y$y'=y$, tenemos eso $$\begin{eqnarray} t' &=& \gamma(t-\gamma v z) \\ z' &=& \gamma(z-\gamma v t) \end{eqnarray}$$

Por otro lado, las leyes de transformación para las cantidades de 4 vectores$F^{\mu\nu}$,$J^\mu$, y$x^\mu$se puede escribir en una forma mucho más compacta

$$\begin{eqnarray} F^{\mu'\nu'} &=& \Lambda^{\mu'}_{\ \ \mu} \Lambda^{\nu'}_{\ \ \nu} F^{\mu\nu} \\ J^{\mu'} &=& \Lambda^{\mu'}_{\ \ \mu} J^{\mu} \\ x^{\mu'} &=& \Lambda^{\mu'}_{\ \ \mu} x^{\mu} \end{eqnarray}$$

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Ahora estamos en condiciones de ver cómo se ven las leyes de Maxwell en el marco de Bob. Si reemplaza las leyes de transformación en las ecuaciones, encontrará en forma de 3 vectores que

$$\begin{eqnarray} \nabla' \cdot \vec{E}' &=& 4\pi \rho' \\ \nabla' \cdot \vec{B}' &=& 0 \\ \nabla' \times \vec{E}' &=& -\frac{\partial \vec{B}'}{\partial t'} \\ \nabla' \times \vec{B}' &=& 4\pi \vec{J'} + \frac{\partial \vec{E}'}{\partial t'} \end{eqnarray}$$ Se necesita un cálculo muy largo y complicado para mostrar esto, porque necesita rastrear 2 ecuaciones escalares y 2 vectoriales, y las leyes de transformación son muy complicadas. Sin embargo, algunas personas inteligentes notaron que las ecuaciones de Maxwell tenían esta simetría, que es como se descubrieron originalmente las transformaciones de Lorentz.

Si trabaja con 4 vectores, encontrará que

$$\begin{eqnarray} \partial_{\mu'} F^{\mu' \nu'} &=& J^{\nu'} \\ \partial_{[\lambda'} F_{\mu' \nu']} &=& 0 \end{eqnarray}$$ Este cálculo es esencialmente trivial. Dado que la ecuación relaciona 4 vectores y 4 tensores, manifiestamente se mantendrá en 2 marcos cualesquiera relacionados por una transformación de Lorentz.

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Si ahora imaginamos a Christine, que está acelerando en relación con Alice, y calculamos las leyes de transformación del marco de Christine y calculamos cómo se veían las ecuaciones de Maxwell después de aplicar estas leyes de transformación, al final encontraríamos que las ecuaciones de Maxwell no tenían el misma forma. Encontraríamos términos adicionales en las ecuaciones de Maxwell, proporcionales a la aceleración.

No es muy esclarecedor escribir explícitamente las ecuaciones de esta forma. Pero como ejemplo para mostrar lo que sale mal: calcular la transformación de las ecuaciones de Maxwell implica tratar con términos como este

$$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}[T(t) B] \end{equation}$$ dónde$T(t)$es una transformación que actúa sobre$B$. Para una transformación de Lorentz,$T(t)=\Lambda$, que es independiente del tiempo, por lo que se puede sacar fuera de la derivada del tiempo. Sin embargo, para un marco de referencia acelerado,$T(t)$será dependiente del tiempo. Mas o menos,$T$será como$\Lambda$con una velocidad dependiente del tiempo. Entonces la transformación de este término tomará una derivada temporal de la transformación$T$, que luego aparecerá como un término adicional en las ecuaciones de Maxwell. Este término adicional implicará derivadas temporales de la velocidad, también conocida como aceleración.

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Entonces, ¿cuáles son las lecciones aprendidas?

• "Invarianza bajo transformaciones de Lorentz" significa que después de aplicar la transformación del marco de Alice (sin imprimar) a Bob (con imprimación), las ecuaciones que usan variables con prima son exactamente las mismas que las ecuaciones con variables sin prima.
• Las ecuaciones no son las mismas en el marco de Christine, que se acelera en relación con el de Alice.
• No estamos obligados a usar 4 vectores. La física es que las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo la transformación de Lorentz. Esta física se puede expresar usando 3 vectores, o 4 vectores, o cualquier otro conjunto de variables.
• Sin embargo, el uso de 4 vectores y 4 tensores es muy útil para hacer que la invariancia de Lorentz se manifieste; hacen que las reglas de transformación y el hecho de que las ecuaciones de Maxwell sean invariantes bajo las transformaciones de Lorentz sean esencialmente triviales. Por otro lado, en la notación de 3 vectores, las transformaciones son muy complicadas y la invariancia es muy poco obvia y difícil de comprobar.
• Dicho esto, al hacer un cálculo relacionado con un sistema en particular, puede ser que no sea tan importante hacer manifiesta la invariancia de Lorentz. Por ejemplo, para calcular el campo eléctrico alrededor de una carga puntual, es posible que todo lo que necesite sea el campo eléctrico en el marco de la carga puntual. Entonces puede tener sentido usar la notación de 3 vectores, ya que los campos eléctricos y magnéticos como 3 vectores están más cerca de lo que realmente se puede medir en un laboratorio.
• tl; dr: el formalismo que use depende del problema que quiera resolver. Debe elegir el formalismo que haga que su problema sea más fácil de resolver, o que brinde la mayor comprensión de la física subyacente. Pero esta elección arbitraria no puede afectar la física, y todos los formalismos deben dar los mismos resultados para cantidades observables.