¿Sería suficiente conocer solo la constante de velocidad y las simetrías del espacio-tiempo en la Relatividad General para derivar la Relatividad General?

Leí antes que la Relatividad General se puede derivar de las simetrías, pero lo que no sé es si esto significa que las simetrías por sí solas pueden derivar la Relatividad General o si esto significa que las simetrías combinadas con información adicional se pueden usar para derivar la Relatividad General.

A modo de comparación, si uno dijera que la relatividad especial se puede derivar de las simetrías, eso podría interpretarse en el sentido de que la relatividad especial se puede derivar de esas simetrías combinadas con la constante de velocidad. Sin embargo, si no supiéramos nada acerca de la constante de velocidad, la contracción de la longitud, la dilatación del tiempo o el electromagnetismo, y la única información que tuviéramos estuviera relacionada con la relatividad especial, entonces no tendríamos suficiente información para derivar la relatividad especial, como el espacio euclidiano y el espacio-tiempo galileano. tienen todas las simetrías que tiene el espacio-tiempo en la relatividad especial.

Digamos que no sabíamos sobre la existencia de agujeros negros, lentes gravitacionales o interacciones gravitatorias. La única información que teníamos relacionada con la Relatividad General eran las simetrías de la Relatividad General, que hay una velocidad constante y que el espacio-tiempo está curvado cerca de un cuerpo masivo. ¿Tendríamos suficiente información para derivar la Relatividad General en este caso?

Para ser claros, cuando digo la constante de velocidad me refiero a la velocidad a la que se mueven las partículas sin masa.

¿Qué quiere decir exactamente con "derivar la relatividad general"? ¿Quiere decir derivar las ecuaciones de campo de Einstein?
@josephh Sí, junto con las otras ecuaciones de la Relatividad General.

Respuestas (3)

La simetría por sí sola no es suficiente para derivar GR.

La acción para GR es la acción de Einstein-Hilbert (agregaré la constante cosmológica ya que creemos que está en la Naturaleza)

S mi H = 1 dieciséis π GRAMO ∫ d 4 X − gramo [ R − 2 Λ ]
donde me he puesto C = 1 y GRAMO es la constante de Newton.

Hay un número infinito de términos que podríamos sumar con exactamente las mismas simetrías pero que darían lugar a diferentes ecuaciones de campo...

S o t h mi r = ∫ d 4 X − gramo [ C 1 R 2 + C 2 R m v R m v + C 3 R m v ρ σ R m v ρ σ + C 4 R 3 + . . . ]
Sin embargo , GR es la única teoría invariante de Lorentz de baja energía , autoconsistente y estable que interactúa (dos derivadas o menos que actúan sobre la métrica en la acción) de una partícula de espín-2 sin masa [1]. Entonces, aunque la simetría por sí sola no es suficiente, hay un conjunto de principios físicos que la distinguen como una teoría especial.

[1] Hay muchas referencias, pero un argumento clásico está en las conferencias de Feynman sobre la gravitación , y Deser ofrece otros argumentos más completos: https://arxiv.org/abs/gr-qc/0411023 y Boulware y Deser: https ://doi.org/10.1016/0003-4916(75)90302-4

Para el S o t h mi r Veo que hay un R 2 , un R 3 , y algo R términos con símbolos para valores de índice en lugar de números. ¿Existe un patrón para obtener siempre el siguiente R término en la sucesión?
@AndersGustafson Puede escribir cualquier contracción de índice con un número arbitrario de R m v ρ σ . Algunos términos más cúbicos serían R m v R v ρ R     ρ m y R m v ρ σ R m v ρ σ R . Estoy seguro de que hay una forma sistemática de obtener todas las contracciones posibles, pero el punto es que hay un número infinito de términos posibles que tienen la misma simetría (covarianza general) que la acción de Einstein-Hilbert y solo involucran la curvatura, por lo tanto, las consideraciones de simetría por sí solas no son suficientes para derivar GR.
También puedes escribir derivadas covariantes de la curvatura, como ∇ m ∇ v R m v ρ σ R ρ σ o R ◻ R .
También puede incluir contracciones con el tensor de densidad Levi-Civita ϵ m v ρ σ , o de manera equivalente con el tensor dual de Riemann R ~ m v ρ σ , y nuevamente derivadas covariantes. Esto permite cosas como R ~ m v ρ σ R m v R ρ σ y ∇ m R ~         ρ σ m v ∇ v R ρ σ (las contracciones se vuelven cada vez más locas).
¡Gracias por la información!

Esta respuesta solo se ocupa de la derivación de la ecuación de campo de Einstein (EFE), ya que otras cosas en GR se basan en esta ecuación. Si la simetría involucrada es el principio de invariancia general (la definición exacta se da en el Capítulo 7 de Gravitation and Spacetime de Hans Ohanian , siempre que conozcamos las ecuaciones de campo lineales para la gravitación y asumamos que la ecuación de campo es de segundo orden diferencial y lineal en el segundo derivada de la métrica, entonces se puede derivar el EFE. Para obtener más detalles, lea los capítulos 3 y 7 del libro antes mencionado. Tenga en cuenta que Ohanian derivó la ecuación del campo gravitatorio linealizado antes de derivar EFE, en contraste con muchos libros que adoptan el otro camino alrededor.

En realidad, A. Einstein encontró las ecuaciones de campo (EFE) sin saber acerca de los agujeros negros y las lentes gravitatorias. Por supuesto que sabía que eran interacciones gravitatorias. Sin saber acerca de las interacciones gravitatorias, uno no tendría ninguna teoría (ni siquiera la teoría de Newton). El punto clave de la derivación de Einstein de las ecuaciones de campo es el principio de equivalencia: la equivalencia entre la masa gravitatoria y la masa inercial. Probablemente uno no llamaría a eso una simetría.

La simetría que rige la Relatividad General es la invariancia del difeomorfismo, que es una consecuencia del principio de relatividad y del principio de equivalencia. Pero esto no definiría únicamente la teoría gravitacional. Se necesitaría otra guía: en realidad, la nueva teoría gravitatoria debería reproducir la teoría gravitacional de Newton en el límite de los campos débiles y las velocidades pequeñas. Una vez que se aplica este tercer principio, se llega directamente al EFE (que podría sufrir correcciones cuánticas si alguna vez se logra cuantificar de manera consistente ...).

Finalmente, no se debe exagerar el papel de la simetría en la física. No se pueden derivar todas las teorías físicas simplemente de una simetría. Por ejemplo, el principio de simetría generó un gran interés en la supersimetría, pero hasta ahora no se ha encontrado ningún indicio experimental de supersimetría. Por lo tanto, la simetría no debe usarse como el único principio rector porque llevaría a las personas a olvidarse de otros principios que eventualmente podrían desempeñar un papel aún más importante.

¿Sería suficiente conocer solo la constante de velocidad y las simetrías del espacio-tiempo en la Relatividad General para derivar la Relatividad General?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v